Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ởhầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học. Không những thế nó cònlà bài toán hay và khó nhất trong các đề thi. Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảngdạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó. Chủ đề nàythường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó. Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có nhiềuphương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toánmà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi. Một trongnhững phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởngcơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cốđịnh. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua vídụ để học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bàitoán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình. Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộnghơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh bất đẳng thứcvà tìm GTLN, GTNN. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét. - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo. III. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến. - Phân dạng các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số. -1- PHẦN 2: NỘI DUNGI. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: 1) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập số D. Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận. Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau: - Tính đạo hàm y’. - Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 ... - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) .... - KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]. Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị nào. 2) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến bằng phép đổi biến số. Bước 1. Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới. Bước 2. Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu). Bước 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó. 3) Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 1/ a  b  2ab 2 2 2 /( a  b )  4 a b 2 3 / 2(a  b )  (a  b) 2 2 2 4/a b  c  ab  bc  ca 2 2 2 5 /( a  b  c )  3 ( a b  b c  c a ) 2 6 / 3(a  b  c )  (a  b  c ) . 2 2 2 2 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: a  b  2 ab , a  b  c  3 abc ,  a  b  c   27abc 3 3II. PHƢƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁTRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN -2-1 . Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai, ba biến. Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữachúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảosát. Ví dụ 1. Cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức: x y  z 3 xyz P   . 3 xyz x y  z Nhận xét và hướng dẫn giải x y  z 3 xyz x y  z Dễ thấy . 1, do đó nếu đặt t  ta được biểu thức theo biến 3 xyz x y  z 3 ...