Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

Đề tài này giới thiệu đến các bạn hai phương pháp giải phương trình, đó là áp dụng tính chất của hàm số ngược và định lý Lagrange, định lý Rolle. Đồng thời đề tài cũng giới thiệu sơ qua một số ứng dụng khác của định lý Lagrange và định lý Rolle. Chúng tôi đã trình bày cụ thể phương pháp, ví dụ minh họa và tổng quát một số bài toán. Từ dạng tổng quát này, các bạn có thể cho cụ thể hàm hoặc số thích hợp sẽ có được những bài tập khá thú vị.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng của định lý Lagrange và định lý RolleChương1: ÁPDỤNGHÀMSỐNGƯỢC ĐỂGIẢIPHƯƠNGTRÌNHI.Mộtsốkiếnthứcchuẩnbị:1.Địnhnghĩahàmsốngược: Chohàmsốf: D D (vớiD,D’ ) x a y = f (x)Nếuflàsongánhthìtồntạihàmsốngược f −1 : D D y a x = f −1 (y)2.Cáchtìmhàmsốngược: Tìmmiềnxácđịnh D củafnếuđềbàichưacho. Tìmmiềngiátrị Dcủaf. Chứngminhf: D Dlàmộtsongánh.Khiđófcóhàmsốngượclà f −1 : D D y a x = f −1 (y)Trongthựchành,đểtìmhàmsốngượccủahàmsốf(x)tagiảiphươngtrìnhy= f(x)vớiẩnlàx,tađượcx=g(y),sauđóđổivaitròcủaxvày. x −1Vídụ:[4]Tìmhàmngượccủahàmsốf(x)= . x +1 x −1Trướchếttagiảiphươngtrìnhvớiẩnxlày= vớix 1. x +1 1+ yTacóxy+y=x1 x(1y)=y+1 x= . 1− y 1+ xNhưvậyhàmsốngượccủahàmsốđãcholà f −1 (x)= . 1− x3.Tínhchất: Hàmsốglàhàmngượccủafkhivàchỉkhiflàhàmngượccủag. Hàmngược(nếucó)củamộthàmsốlàduynhất. Hàmngượclàmộtđơnánh. Mọihàmsố đơnánhđềucóhàmngược.Mọihàmsố đơnđiệunghiêmngặtđềucóhàmsốngược.4.Đồthịcủahàmsốngược:Nếuhàmsốg(x)làhàmngượccủahàmsốf(x)thìhaiđồthịcủahaihàmsốy= f(x)vày=g(x)đốixứngnhauquađườngphângiáccủagócphầntư thứ IvàthứIII. 1II.Nộidung:1.Vídụmởđầu:[5] Giảiphươngtrình x 3 + 1 = 2 3 2x − 1 (1)Giải:HầuhếtcácsáchvềtoánsơcấpđềugiảinhưsauĐặt 3 2x − 1 = y � y3 + 1 = 2x . x 3 + 1 = 2y (2)Vậytacóhệphươngtrình y3 + 1 = 2x (3)Lấy(2)–(3)tađượcx3–y3=2(y–x) (x–y)(x2+xy+y2+2)=0 x=y x 2 + xy + y 2 + 2 = 0 x=y 2 � y� 3y 2 �x + �+ +2=0 � 2� 4 x=yThayvào(2)tađượcx3+1=2x (x–1)(x2+x–1)=0 x =1 −1 5 x= 2 −1 5Vậyphươngtrìnhđãchocó3nghiệm:x=1, x = . 2 x3 + 1 3 Nhậnxét:(1) = 2x − 1 (4 ) 2 x3 + 1Dễthấyy=f(x)= vày=g(x)= 3 2x − 1 là2hàmngượcnhau,hayg(x)= 2 f (x).Dođó(3) f(x)= f −1 (x). −1Taxétphươngtrìnhdạngnày.2.Phươngtrìnhdạngf(x)= f −1 (x)(*)Tínhchất:Xétf(x)làhàmđồngbiến,khiđóphươngtrình f(x)= f −1 (x) f(x)=x.Chứngminh:Điềukiệncần:GiảsửxVìf(x)đồngbiến⇒f(x)f( f −1 (x))=x>f(x)(mâuthuẫn).Vậyf(x)=x.Điềukiệnđủ:Vìf(x)=xnênA(x,f(x))thuộcđườngthẳng(d):y=x.DođóđiểmđốixứngcủaAquađườngthẳng(d)cũnglàA.SuyraAcũngthuộcđồthịhàmsốy= f −1 (x)⇒f(x)= f −1 (x). x3 + 1 Trở lạivídụ mở đầu,(4)códạngf(x)= f (x),trongđóf(x)= −1 làhàm 2đồngbiếntrên R . x3 + 1Dođó(4) f(x)=x =x ...