Sáng kiến kinh nghiệm: Vận dụng các bài toán hình học phẳng được đề nghị trong các kì thi Imo từ 2003 đến 2007 vào việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

Bài tập về hình học phẳng phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi tham gia kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh và Quốc gia cấp THPT chủ yếu dựa vào nguồn: Báo Toán học và Tuổi trẻ; đề thi Olimpic của các nước và các đề dự tuyển trong các kì thi IMO. Do đó giúp học sinh tiếp cận với đề bài và lời giải bằng tiếng Việt các bài toán hình học phẳng đề nghị trong các kì thi IMO là cần thiết. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Vận dụng các bài toán hình học phẳng được đề nghị trong các kì thi Imo từ 2003 đến 2007 vào việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏiI.Tên đề tàiVẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ĐƯỢC ĐỀ NGHỊTRONG CÁC KÌ THI IMO TỪ 2003 ĐẾN 2007 VÀO VIỆC DẠY BỒIDƯỠNG HỌC SINH GIỎIII. Đặt vấn đề: Bài toán hình học phẳng là một nội dung luôn xuất hiện trong các kì thi chọnhọc sinh giỏi Tỉnh, chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT và kì thi Olympic Toánhọc Quốc tế( gọi tắt là IMO). Để làm tài liệu dạy bồi dưỡng phần hình học phẳngcho học sinh giỏi của trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm và đội tuyểnHSG Toán thi Quốc gia, tôi đã tạm dịch từ bản tiếng Anh sang tiếng Việt và vẽhình minh họa , các bài toán hình học phẳng đề nghị của các nước trong các kìthi IMO từ năm 2003 đến 2007 . Nay xin được trao đổi cùng đồng nghiệp tronglĩnh vực này.III. Cơ sở lí luận: Để học sinh giỏi Toán được tiếp xúc với các bài toán hình học phẳng haycủa các nước trong các kì thi IMO, nhưng trên mạng internet chỉ có nội dungbằng tiếng Anh , do đó học sinh ít có điều kiện đọc và hiểu được các bài toán đó.Nên việc giáo viên cung cấp đề bài cùng lời giải bằng tiếng Việt cho học sinh làđiều kiện thuận lợi trong học tập cho học sinh. Trên cơ sở đó giúp học sinh đượchọc tập, ôn luyện để tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh và Quốc gia đạt kếtquả tốt hơn.IV. Cơ sở thực tiển Bài tập về hình học phẳng phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi tham giakì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh và Quốc gia cấp THPT chủ yếu dựa vào nguồn:Báo Toán học và Tuổi trẻ; đề thi Olimpic của các nước và các đề dự tuyển trongcác kì thi IMO. Do đó giúp học sinh tiếp cận với đề bài và lời giải bằng tiếngViệt các bài toán hình học phẳng đề nghị trong các kì thi IMO là cần thiết.V. Nội dung nghiên cứu: CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC ĐƯỢC ĐỀ NGHỊ TRONG KÌ THI IMO LẦN THỨ 44 TỔ CHỨC TẠI NHẬT BẢN NĂM 2003Bài 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi P, Q, R lần lượt là hình chiếucủa D lên đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng PQ = QR khi và chỉ khicác phân giác của góc ABC và ADC đồng quy với AC.Lời giải 1. 1 A Ta đã biết P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson). Ta có DPC  DQC  900  D, P, C, Q R nằm trên một đường tròn, do đó D DCA  DPQ  DPR . Tương tự D, Q, R, A nằm Q trên đường tròn, do đó DAC  DRP . Suy ra  DCA  DPR Làm tương tự ta được  DAB  DQP và  DBC  DRQ B C P DA DB AB DB DC BCDo đó  = (1) ,  = (2) DQ DP QP DR DQ RQ DA QR BATừ (1) và (2) suy ra  . . DC PQ BCDo đó PQ = QR nếu và chỉ nếu DA/DC = BA/BCCác phân giác của góc ABC và ADC chia đoạn AC theo tỉ số BA/BC và DA/DCtương ứng . Do đó 3 đường đồng quy.Lời giải 2. Giả sử phân giác góc ABC và ADC cắt AC tại L và M tương ứng. AL AB AM AD AB ADKhi đó  và  . Ta có L  M    AB.CD  CB. AD . CL CB CM CD CB CDTa chứng minh AB.CD = CB.AD  PQ = QR.Vì DP  BC, DQ  AC, DR  AC. Nên đường tròn đường kính DC qua P và Q ;đường tròn đường kính DA qua R và Q.Đặt ACB   thì PDQ   hoặc 1800 –  , đặt CAB   thì QDR   hoặc 1800 –  . CD sin Ta có PQ = CD.sin  ; QR = AD.sin  . Do đó PQ = QR   . AD sin  sin  CBĐịnh lí sin trong  ABC ta có :  . sin  AB CD CBTừ đó PQ = QR    AB.CD  AD.CD AD ABBài 2) Cho 3 điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng.Gọi  là một đường tròn thay đổi qua A và C có tâm không nằm trên AC. Kíhiệu P là giao điểm của các tiếp tuyến với  tại A và C. Giả sử  cắt đoạn PBtại Q. Chứng minh rằng giao điểm của phân giác góc AQC và đường thẳng ACkhông phụ thuộc vào cách chọn  .Lời giải 1. 2 P Giả sử phân giác góc AQC cắt đường thẳng AC và Q đường tròn  tại R và S tương ứng, ở đây S  Q. Vì C  APC cân ta có R A B AB AB BC sin APB sin CPB sin APB  :  :  . Tương tự BC PB PB sin PAB sin PCB sin CPB ...