SGK Đại số và giải tích 11: Phần 2

Mời các bạn tham khảo phần 2 của cuốn Tài liệu Đại số và giải tích 11 sau đây để nắm bắt được những kiến thức về phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số nhân, cấp số cộng; giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục; đạo hàm; quy tắc tính đạo hàm; vi phân; đạo hàm cấp hai. Tài liệu phục vụ cho các bạn yêu thích Toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SGK Đại số và giải tích 11: Phần 2Chiran in Dfly sd - cflp sO COHG Phan dau cua chuong gioi thieu Phuong phap quy nap toan hgc, mot phuong phap chung minh nhieu khang djnh toan hoc, lien quan den tap so tu nhien. Day la mot phuong phap chiing minh quan trong va hiiu hieu trong Toan hoc. Phan tiep theo la cac khai niem co ban ve day so(huu han va vo han), se duoc gap nhieu trong cac chuong cua Giai tfch. Cap so cong va cap so nhan la hai day sd dac biet va co nhieu ung dung, duoc trinh bay he thdng va chi tiet 6 cudi chuong. PHLTONG PHAP QUY NAP TOAN jlOg^I - PHUONG PHAP QUY NAP TOAN HOC ^Xet hai menh de chfla bienP{n): 3 1 (ggi la gia thidt quy nap), chflng minh rdng nd eung dung vdi n = k+l. Dd la phuang phdp quy nap todn hoc, hay edn ggi tdt la phuang phdp quy nap. Mdt cdch don gian, ta ed thi hinh dung nhu sau : Mdnh dl da dung khi n = 1 ndn theo kit qua 6 bude 2, nd eung dung vdi n = 1 -i: 1 = 2. Vi nd dung vdi « = 2 ndn lai theo kit qua b bude 2, nd dung vdi « = 2 -I- 1 = 3,... Bdng cdch dy, ta ed thi khang dinh rang mdnh dl diing vdi mgi sd tfl nhidn n G N .II - VI DU AP DUNG Vi du 1. Chflng minh rang vdi n G N thi l + 3 + 5 + ... + {2n-l) = n^. (1) Gidi Bude 7. Khi « = 1, vl trdi chi cd mdt sd hang bdng 1, vl phai bang 1 . Vdy he thflc (1) dung.80 Bude 2. Dat vd trai bang 5„. Gia sfl dang thflc dung vdin = k>l, nghia la 5^ = 1 -I- 3 -I- 5 -t-... -1- (2^ - 1) = ^^ (gia thiit quy nap). Ta phai chflng minh rang (1) eung dung vdi n = A: -(-1, tflc la 5;t+i = 1 + 3 --I- H 55 ++ ... ... -I- + {2k {2k -l) + [2{k +l)-l] = {k+ 1)^. Thdt vay, tfl gia thiit quy nap ta cd Sk+i = Sk+[2{k+l)-l] = k^ + 2k+l={k+ 1)1 vay he thflc (1) dung vdi mgi n e N*.U Chflng minh rang vdi n e N thi 1 -, T n{n + l) 1 + 2 + 3-t-... + n = —^ -. V * 3 Vi du 2. Chflng minh rang vdi n G N thi n -n chia hit cho 3. Gidi. Dat A„ = n -n. Bude l.Ydin-l,tacd Ai=0 : 3. Bude 2. Gia sfl vdi n = ^ > 1 ta cd 3 Ai^ = {k - k) -.3 (gia thiit quy nap). Ta phai chflng minh A^+i : 3. That vay, tacd Ak+i = (*: -I-1)^ - (it + 1) = /t^ -I- 3/fe^ -I- 3/k -1-1 - A; - 1 = {k^ - k) + 3{k^ + k) = Ak + 3{k^ + k). Theo gia thiit quy nap A^ : 3, hon nfla, 3{k^ + k) 3 ndn A;t+l : 3. Vdy A„ = n^ -n chia hit cho 3 vdi mgi n e N*. •,BAls6&GlAlTlCH11-A gl CHU Y Nlu phai chflng minh mdnh dl la dung vdi mgi sd tfl nhidn n>p {p la mdt sd tfl nhidn) thi: • 6 bfldc 1, ta phai kilm tra mdnh dl dung vdi n = p ; • d bude 2, ta gia thiit mdnh dl dung vdi sd tfl nhidn bita n = k>p vk phai chflng minh rang nd eung dung vdin = k+ 1. 3 Cho hai sd 3 vd 8n vdi n e N . a) So sanh 3 vdi 8n khi n = 1, 2, 3,4, 5. b) Dfl dodn ket qua tdng qudt vd chdng minh bang phuong phdp quy nap. Bai tap1. Chflng minh rang vdi n G N , ta cd eae dang thflc : n{3n +1) a) 2 -I- 5 + 8 -^ ... -I- 3n - 1 = 2 ^ 1 1 1 1 2 - 1 h) - + - + - + ... + — = ; 2 4 8 2 2 . ,2 -2 , »2 , ,2 n(n + 1)(2«-^ 1) c) 1 -t-2 +3 + ... + n2. Chflng minh rdng vdi n G N , ta ed : 3 2 a) n +3n + 5n chia hit cho 3 ; b)4+15n-l chia hdt cho 9 ; 3 c) rt + lin chia hit cho 6.3. Chflng minh rdng vdi mgi sd tfl nhidn n > 2, ta ed edc bdt ddng thde : a)3>3rt+l; b)2^^>2« + 3.82 6.Bi^ls6&GlAlTiCH11-B4. Cho tdng S„ = — + — + ... + vdi « G N * . 1.2 2.3 n{n + l) a) Tfnh Sj, 52, S3. b) Du dodn cdng thflc tfnh tdng 5„ vd chflng minh bang quy nap. n{n — 3)5. Chflng minh rdng sd dudng cheo eua mdt da giac ldi n canh la —^^ . BAN C O BIET ? SUY LUAN Q ...