SKKN: Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiều học sinh say mê tìm tòi lời giải một cách sáng tạo. Để giúp học sinh hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG HỌC SINH CÁCH TÌM TÒI LỜI GIẢITRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) làchuyên đề chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, phong phú và cũng được coilà rất khó đối với học sinh. Bất đằng thức là một trong những bài toán đượcquan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học- Caođẳng. Vì vậy dạy cho học sinh giải toán bất đẳng thức đòi hỏi phải dạy chocác em cách tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết. Đa phần các bài toán về bấtđẳng thức đòi hỏi ở học sinh tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạtkhi đi tìm cách giải. Một số học sinh rất ngại khi gặp bài toán về bất đẳng thức, cái ngại ởđây không phải do khối lượng kiến thức nhiều mà thông thường học sinhkhông nắm được phương pháp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức vìcác bài toán bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sửdụng các bất đẳng thức trung gian rất khó nghĩ tới nên phần lớn học sinh gặprất nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Học sinh chỉquen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán bất đẳngthức, khi điều này không khả thi thì lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu,đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức trung gian. Trong những bài toán đơn giản việc áp dụng bất đẳng thức quenthuộc, các phương pháp thường gặp trong giải bài toán bất đẳng thức thì họcsinh dễ tiếp cận. Song đối với những bài toán phức tạp thì vấn đề không đơngiản chút nào. Như vậy để có thể giải các bài toán về bất đẳng thức phức tạp,người giải toán cần có một phương pháp, một kỹ thuật sử dụng để chứngminh bất đẳng thức. Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiềuhọc sinh say mê tìm tòi lời giải một cách sáng tạo. Với mong muốn giúp họcsinh hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tôi xin trìnhbày một số bài toán minh họa trong việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòilời giải trong một số bài toán bất đẳng thức. PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a+b Với hai số không âm a, b ta có ³ ab (1) 2 Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b 2. Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm a+b+c 3 Với ba số không âm a, b , c ta có ³ abc 3 Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = c 3. Tổng quát: Với các số không âm a1, a2, ...., an có a1 + a2 + ... + an n ³ a1a2 ...an n Dấu đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 ... = an 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số. ( ax + by ) £ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) 2 Dấu “=” xảy ra khi ay – bx = 0 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA A. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG GIAN: Một số BĐT trung gian thường gặp: 1. Chứng minh rằng: Nếu a ³ 0 và b ³ 0 thì a3+b3 ³ a2b + ab2. (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = bChứng minh:Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 3 3 2 2 Û a +b - a b - ab ³ 0 2 2 Û a (a-b) – b (a - b) ³ 0 2 2 Û (a-b)(a – b ) ³ 0 2 Û (a-b) (a+b) ³ 0.BĐT sau cùng này luôn đúng với mọi a ³ 0 và b ³ 0 nên BĐT đã cho đúngvới mọi a ³ 0 và b ³ 0. Dấu bằng xảy ra khi a = b. 1 1 4 2. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: + ³ . (2) a b a+b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = bChứng minh: 1 1Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là , ta có: a b1 1 1 2 + ³2 =a b ab abÁp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: a + b ³ 2 ab . 1 1Nhân vế theo vế hai BĐT trên ta được BĐT ( a + b )( + ) ³ 4. a b 1 1 4Suy ra + ³ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b a b a+b3. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 1 4 ³ (3) ab ( a + b) 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = bChứng minh:Ta có BĐT (3) Û ( a + b )2 ³ 4ab Û a 2 + 2ab + b 2 ³ 4ab. Û a - 2ab + b ³ 0 Û ( a - b ) ³ 0 . Đây là BĐT đúng. 2 2 2Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ³ (4) a b c a+b+cDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = cChứng minh: 1 1 1Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương là , , và a, b, c ta được: a b c1 1 1 1 + + ³ 3. 3 , a + b + c ³ 3. 3 abc . Nhân vế theo vế của haia b c abc æ1 1 1ö ÷³ 9BĐT trên ta được: (a + b + c)ç + + ç ça b ÷ ÷ è cø 1 1 1 ...