SKKN: Dạy các tổng dạng cho học sinh lớp 11

Sáng kiến “Dạy các tổng dạng cho học sinh lớp 11” đưa ra các hướng giải tự nhiên, khác truyền thống và phù hợp với kiến thức được học của học sinh lớp 11 hiện nay ; đáp ứng tinh thần ham học của học sinh trong việc tiếp cận các bài toán ở mức độ nâng cao trong các sách tham khảo và trong các đề thi Đại học, Cao đẳng về dạng toán liên quan đến các tổng dạng . Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Dạy các tổng dạng cho học sinh lớp 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM nDẠY CÁC TỔNG DẠNG  ak Cnk CHO k 0 HỌC SINH LỚP 11A. PHẦN MỞ ĐẦU1. Bối cảnh của đề tài Trước đây chương Đại số tổ hợp là chương cuối cùng của chương trình Giảitích lớp 12. Khi đó học sinh đã được học qua các công cụ mạnh như đạo hàm,tích phân. Vì vậy, người ta đã kết hợp lý thuyết nhị thức Newton với các côngcụ đạo hàm, tích phân để đưa ra rất nhiều bài toán khó về tổng các Cnk , mà chúngxuất hiện nhiều trong các đề thi Đại học, Cao đẳng. Hiện nay chương Đại số tổ hợp được xếp vào cuối học kỳ I của lớp 11. Do đó,theo truyền thống, muốn giải được các bài toán nói trên học sinh phải đợi đếncuối năm học lớp 11 (lúc được học về đạo hàm) và cuối năm học lớp 12 (khiđược học về tích phân). Nếu quy trình trên được thực hiện thì sự lập lại nhiều lần (nếu có cơ hội) nhưthế cũng có thể là một điều hay (giúp học sinh được lặp lại kiến thức nhiều lần).Tuy nhiên, thực tế là giáo viên không có thời gian dành để dạy cho học sinhnhững ứng dụng của đạo hàm và tích phân vào các bài toán dạng này.2. Lý do chọn đề tài Sách giáo khoa lớp 11 có viết đôi bài về các tổng chứa các số hạng Cnk ở mứcđộ đơn giản. Điều này khiến cho những học sinh ham tìm hiểu quan tâm đến cácbài toán dạng này trong các tài liệu tham khảo. Mấy năm gần đây, mỗi năm tôi đều được vài học sinh lớp 11 hỏi về các bàitoán dạng này. Mỗi lần như vậy, việc phải trả lời các em rằng sau này các emmới có đủ kiến thức để giải làm lòng tôi áy náy vì chưa làm thỏa mãn tính hiếuhọc của các em. Nhằm đáp ứng sự ham tìm hiểu của học sinh lớp 11, khi học về nhị thứcNewton, đề tài này đưa ra vài hướng giải mang tính tự nhiên, không cần dùngcác công cụ đạo hàm, tích phân, cho các bài toán về các tổng chứa các số hạngdạng ak .Cnk .3. Phạm vi và đối tượng đề tài Đề tài này tập trung vào việc xử lý các tổng chứa các số hạng dạng ak .Cnk bằngcác công cụ phù hợp với học sinh đang học học kỳ I lớp 11 như : Khai triển nhịthức Newton, tính chất của các biểu thức dạng ak .Cnk và ứng dụng của bài toánđếm.4. Mục đích của đề tài Mục đích của đề tài này là đưa ra các hướng giải tự nhiên, khác truyền thốngvà phù hợp với kiến thức được học của học sinh lớp 11 hiện nay ; đáp ứng tinhthần ham học của học sinh trong việc tiếp cận các bài toán ở mức độ nâng caotrong các sách tham khảo và trong các đề thi Đại học, Cao đẳng về dạng toán kliên quan đến các tổng dạng  a .C k n .5. Sơ lược những điểm mới cơ bản nhất trong kết quả nghiên cứu Những điểm mới cơ bản nhất trong kết quả nghiên cứu của chúng tôi là đưa racách giải các bài toán đã đề cập ở trên một cách rất tự nhiên, khác truyền thống,qua việc xử lý các tính chất của các biểu thức dạng ak .Cnk và mối quan hệ giữa n kbài toán đếm với bài toán tính tổng a C k 0 k n .6. Tính sáng tạo về khoa học và thực tiễn của đề tài Việc áp dụng các đẳng thức sinh ra từ việc tính đạo hàm, tính tích phân để xử n klý các tổng a C k 0 k n , như lâu nay, có nhiều điều không tự nhiên và không phùhợp với bố cục chương trình hiện tại. Phương pháp giải quyết các bài toán dạngnày của chúng tôi đáp ứng được những bất cập này cho chương trình hiện tại vàcung cấp một cách nhìn tự nhiên, sáng tạo mà lâu nay bị “bỏ qua”. Áp dụng các phương pháp trong đề tài này vào việc giải toán sẽ giúp học sinhkhông bị mặc cảm về kiến thức mà tự tin trong việc giải quyết vấn đề bằng kiếnthức mình nắm được trong tay.B. PHẦN NỘI DUNGI. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ CÁC TỔNG DẠNG n ka Ck 0 k n1. Khai triển nhị thức Newton. Với hai số thực a, b và số nguyên dương n ta có công thức : n n a  b   Cn a n k b k  Cn a n  Cn a n 1b  Cn a n 2b 2    Cn a n k b k    Cn b n k 0 1 2 k n k 0 Nếu viết b  (1).b và áp dụng công thức trên thì ta được : n n  a  b   (1)k Cn a n k b k k k 0  Cn a n  Cn a n 1b  Cn a n  2b 2    (1)k Cn a n k b k    (1)n Cn b n 0 1 2 k ...