SKKN: Hệ phương trình đối xứng

Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Hệ phương trình đối xứng”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Hệ phương trình đối xứng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMHỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phần A: Lý do chọn chuyên đề Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậchọc Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụngnhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toánvào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy.Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyếtmột bài toán cụ thể. Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề: “Hệ phương trình đối xứng” Phần b: những nội dung cụ thểI. Hệ phương trình đối xứng loại I:Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng- Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởixi thì phương trình không thay đổi.- Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng: x1 + x2 + ... + xn x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn ............................... x1x2 ... xn- Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đốixứng.- Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinhchuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.- Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.*) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +... an, a0 ≠ 0, ai Î P có nghiệm trên P là c1, ...,cn thì -a1 c1 + c2 + ... + c n = ì a0 ï ï a2 ï c1c2 + c1c3 + ... + c1cn + c2 c1 + c 2 c3 + ... + cn-1cn = í a0 ï ............................... ï ï î an c1c1 ... c n =(-1) n . a0phần 2 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn: A. Lý thuyết:1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10). Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì ì -b ïS = x1 + x 2 = a ï í ïP = x .x = c ï î 1 2 a ì x1 + x 2 = S Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có í thì x1, x2 là nghiệm của phương î x1.x 2 = Ptrình X2 - SX + P = 0.2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trìnhkhông đổi ì x + y + xy = 2 VD: í 2 2 î x + xy + y = 43.Cách giải: + Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P. + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0. + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phươngtrình X2 - SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán.4.Bài tập:Loại 1: Giải hệ đơn thuần ì x + y + xy = 2 VD1: Giải hệ í 2 2 (I) î x + xy + y = 4 ì(x + y) + xy = 2 Giải: (I) Û í 2 î(x + y) - xy = 4 ìS + P = 2 ìS + P = 2 ìS + P = 2 Đặt S = x+y, P = xy ta có í 2 Ûí 2 Û ï éS=2 í îS - P = 4 îS + S - 6 = 0 ï êS=-3 îë é ìS = 2 êí Û êî P=0 ê ìS = - 3 êí ê îP = 5 ë ...