SKKN: Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

Sáng kiến kinh nghiệm: “Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân. Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thứcMỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN1. Lời giới thiệu. Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập. Để đáp ứng nhu cầu côngnghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học - côngnghệ, giáo dục và đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu nhằm nâng caodân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị tríđặc biệt quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác.Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trítuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệ phương trìnhthường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi và Kì thi Trung học phổthông quốc gia. Phương trình, hệ phương trình được đánh giá là bài toán phânloại học sinh đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Trong quá trình công tác và giảng dạy tạitrường THPT Nguyễn Viết Xuân, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi vàôn tập kiến thức cho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩnăng giải phương trình, hệ phương trình của học sinh còn nhiều hạn chế, vì thếtôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phươngtrình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong muốn cung cấp cho họcsinh một phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồngthời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bảnthân. Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viênvà học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồidưỡng học sinh giỏi2. Tên sáng kiến“ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứacăn thức ”3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Hoàng Tuyết Nhung - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh Tường– Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0986458989 - E-mail: hoangtuyetnhung.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.vn4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Hoàng Tuyết Nhung5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiếnPhần phương trình và hệ phương trình lớp 106. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017.7. Mô tả bản chất của sáng kiến 7.1. Các bước thực hiện sáng kiến Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến. Bước 2: Áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học. Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm. Bước 4: Nhân rộng sáng kiến. 7.2. Nội dung sáng kiến 7.2.1. Các dạng liên hợp cơ bản 7.2.2. Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình vô tỉcho ta kết quả nhanh gọn. Mục tiêu của phương pháp này như sau: Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là . Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử và đưa phương trình về dạng: . Thông thường ta chứng minh được hoặc (Với mọi x thuộc K là tập điềukiện xác định của phương trình). Trong trường hợp khó chứng minh phươngtrình vô nghiệm, đòi hỏi khéo léo xử lý phương trình bằng công cụ bất đẳngthức, đạo hàm, … Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương trình vô tỉthì kĩ thuật này là công cụ hiệu quả để giải hệ phương trình chứa ẩn trong dấucăn cho ta kết quả nhanh gọn.7.2.3 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨNTRONG DẤU CĂNVí dụ 1: Giải phương trình: (1)Phân tích: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình (1), dự đoán có thểgiải phương trình bằng phương pháp nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tửchung . Tuy nhiên, quan sát các biểu thức chứa ẩn trong dấu căn, ta không thểnhân chia liên hợp trực tiếp. Để phát hiện được biểu thức nhân chia liên hợp tathực hiện như sau:Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp .Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp .Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp .Giải:Mặt khác, ta có:Nên phương trình (*) vô nghiệm.Vậy (1) có 2 nghiệm .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)Phân tích:Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệmnên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử. Ta có nhận xét rằng:vàGiải:(2)Mặt khác, ta có:> 0 với mọi xVậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)Phân tích:Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một nghiệmnên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử. Vì biểu thức dưới dấu căn là tam thức bậc hai nên để xuất hiện nhân tử , tathực hiện phân tích như sau:Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp .Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp .Giải: ...