SKKN: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức

Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán bất đẳng thức tác giả nêu ra một phương pháp mới để giải bài toán. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo sáng kiến trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức SÁNG KIẾN KINH NGHỆMKỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨCI. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  a, b  0 1 1Bài toán 1. Cho  , tìm GTNN của P  2 2  a  b  1 a b 2abGiải 1 1 4 4Ta có: 2 2   2 2  4 a b 2ab a  2ab  b (a  b)2  1  ab a  2  1Dấu “=” xảy ra     MinP  4 khi x  y  a  b  1 b  1 2   2  a, b  0 1 1Bài toán 2. Cho  , tìm GTNN của P  2 2  a  b  1 1 a  b 2abGiải 1 1 4 4 4Lời giải 1. Ta có: P  2 2   2 2  2  2 1 a  b 2ab a  2ab  b  1 (a  b)  1 2 1  a 2  b 2  2ab  ( a  b ) 2  1  0 Dấu “=” xảy ra    . Vô nghiệm   a b 1   a b 1Vậy không tồn tại MinP...?..?Lời giải 2. Ta có: 1 1 1 4 1 4 1P 2 2    2 2   2  1 a  b 6ab 3ab a  6ab  b  1 3ab (a  b)  1  4ab 3ab 2 ab 1 4 1 8Mặt khác ab     . Vậy P  2  2   2  4 ab ab 3 2  6   2   2  1  a 2  b2  3ab  1Dấu “=” xảy ra  a  b ab . a  b  1 2 Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức1 1 4 1 1 1   . Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách   ?..? Làma b ab 2ab 6ab 3absao nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳngthức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi”trong việc giải các bài toán cực trị II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀICó thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riênglà một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyểnsinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trongkỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặcdù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinhvẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mởđầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trườnghợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳngthức”. III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định nghĩa: a  b  a  b  0 a  b   ac b  c  a b  ac bc a  b   acbd c  d 1 1  ab0  a b b) Một số bất đẳng thức cơ bản  Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an (n  2) ta luôn có a1  a2    an n ...