SKKN: Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

Mục tiêu của đề tài giúp cho học sinh nâng cao thêm về “cái nhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinh hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng lực giải các bài toán này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệmPhương pháp sửa dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 1 Phạm Văn Dũng MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khuvực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiềulời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí vềToán học. Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensenthì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bàitoán đại số cũng như BĐT. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụngrộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phảicác BĐT thông thường. Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viếtriêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giátrị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống và tính phân loạicũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyệncho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đềnày nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng caochất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà.2. Các nhiệm vụ của đề tài Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiếtPhần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Bất đẳng thức một biến số Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy- Schwarz,... 2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,… Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến 3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế3. Mục đích của đề tài Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũngnhư các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán về chứngminh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại. Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về “cáinhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toánđó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinhhình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNNbằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao nănglực giải các bài toán này. Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tưduy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó. 2 Phạm Văn Dũng4. Phương pháp nghiên cứu- Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài.- Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải.- Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân.5. Đối tượng nghiên cứu- Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,…- Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh, đội tuyển HSG Quốc gia.6. Những đóng góp mới của đề tài- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phươngpháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hìnhthành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh.7. Địa bàn Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên.8. Lịch sử nghiên cứu Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG của trường, củatỉnh và luyện thi Đại học. 3 Phạm Văn Dũng B. NỘI DUNGI. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b]. *) Nếu f ( x )  0, x   a; b  thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có min f ( x)  f (a ); m ax f ( x)  f (b) x a ;b x a ;b  *) Nếu f ( x )  0, x   a; b  thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có min f ( x)  f (b); m ax f ( x)  f (a) x a ;b x a ;b2. Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của x0   a; b  và có đạohàm tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 thì f ( x0 )  0 .3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và x0 . Trong một lân cận đủ bé  của x0 , nếu f ( x0 ) thay đổi dấu khi x qua x0 (có thể không tồn tại f ( x0 ) ) thì f(x) đạtcực trị tại x0 . *) Nếu f ( x)  0, x   x0   ; x0  và f ( x )  0, x   x0 ; x0    thì x0 là điểm cựctiểu. *) Nếu f ( x )  0, x   x0   ; x0  và f ( x )  0, x   x0 ; x0    thì x0 là điểm cựcđại.4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và x0   a; b  . Trong một lân cậnđủ bé  của x0 , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời f ( x0 )  0và f ( x)  0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. *) Nếu f ( x0 )  0 và f ( x)  0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số. *) Nếu f ( x0 )  0 và f ( x)  0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số. 4 Phạm Văn DũngII. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤTĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁTRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.1. Bất đẳng thức m ...