SKKN: Rèn luyện cho học sinh sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một dạng bài toán khó và thường gặp trong các kỳ thi tuyển học sinh giỏi và các kì thi Đại học - Cao đẳng vì thế các bạn học sinh có thể tham khảo sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức để có thêm kỹ năng giải toán về đạo hàm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Rèn luyện cho học sinh sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH NGA SƠN -------***------- RÈN LUYỆNCHO HỌC SINH SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Kế Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Ba Đình SKKN thuộc môn: Toán SKKN thuộc năm học 2010 -2011 1PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó , thường gặp trong các đề thi họcsinh giỏi các cấp và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Cùng với định nghĩa đạo hàm, các kết quả trong việc khảo sát sự biếnthiên của hàm số được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán toán học vànhiều bài toán trong các nghành khoa học khác. Do đó việc hướng dẫn họcsinh sử dụng đạo hàm để chứng minh bất dẳng thức là một điều cần thiết,giúp học sinh hiểu sâu sắc, chắc chắn những kiến thức về đạo hàm; đồngthời giúp các em không chỉ giải được những bài toán có sẵn một lược đồ giảichung, mà còn giải được nhiều bài toán đòi hỏi nhiều đến kỹ năng tư duy,tổng hợp các kiến thức rút ra từ các nội dung khác nhau. Hơn nữa một thựctế là rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng của đạo hàm trong cácbài toán về phương trình, bất phương trình ,hệ phương trình và đặc biệt làbài toán chứng minh bất đẳng thức. Việc sử dụng việc khảo sát sự biến thiêncủa hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức tạo nên sự phong phú vềthể loại và phương pháp giải toán. PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN 1.Thực trạng vấn đề : Bài toán chứng minh bất đẳng thức khá đa dạng phong phú và có thể nói làkhó đối với học sinh phổ thông . Rất nhiều trường hợp việc chứng minh bấtđẳng thức gặp không ít khó khăn , thậm chí không tìm ra được lời giải đúngbởi một nhẽ là do học sinh chưa được trang bị tốt các kiến thức, phươngpháp ,kỹ năng giải các bài toán thuộc thể loại này. 2.Phương pháp nghiên cứu. Đề tài được sử dụng phương pháp phân tích , tổng hợp, so sánh. 3.Đối tượng: Ôn thi học sinh giỏi và học sinh thi vào các trường Đại học , Cao đẳng. 4.Cách thức thực hiện: Để thực hiện đề tài này ,tôi phân thành 2 dạng bài tập tương ứng với cácdạng bất đẳng thức chỉ chứa một biến và bất đẳng thức có chứa nhiều biến . 5.Nội dung: A-CƠ SỞ LÝ THUYẾT : Trong nhiều bất đẳng thức chứa biến có thể chọn một hàm số đại diện đểkhảo sát sự biến thiên, qua đó tìm được miền giá trị của hàm số đại diện , từđó suy ra điều cần chứng minh. Tuy nhiên việc chọn hàm số đại diện cần kếthợp các kiến thức về đạo hàm và vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bảnkhác về bất đẳng thức . 2 B- MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN : Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trường hợp đãđược giải quyết rất ngắn gọn, lời giải nhẹ nhàng, trong sáng và trong nhiềutrường hợp có thể nói là độc đáo, tạo cho học sinh hứng thú, tự tin hơn tronghọc tập .Giúp phát triển óc tư duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh . Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trongsách giáo khoa , sách bài tập và trong các đề thi học sinh giỏi , các đề thituyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng . các bài tập được chọnhướng vào yêu cầu cơ bản và bài tập có nhiều kiến thức cần khai thác , quađó khắc sâu , hệ thống và nâng cao các kiến thức cơ bản về ứng dụng củađạo hàm cũng như bất đẳng thức . DẠNG 1: Bất đẳng thức có chứa một biến * Phương pháp : Chọn luôn biến đó làm biến của hàm số cần khảo sát * Các ví dụ:Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc đoạn  0;1 ta luôn có : x x2 1  x  e  1 x  2 (Trích đề tuyển sinh trường Đại học Kiến trúc năm 2000)Bài giải: x x2 (1) x (2) Ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức e  x  1  0 ,  x  1  e  0 2 x2 Xét hàm số f ( x)   x  1  e x với x thuộc đoạn  0;1 2 f’(x) =x-1+e , f’’(x) =1-e-x -x * Với x thuộc đoạn  0;1 thì e x  e0  0  f ( x)  0, x  0;1 Suy ra f’(x) đồng biến trên đoạn  0;1 Do đó với x thuộc đoạn  0;1 thì: f’(x)  f’(0)  x  1  e x  0  e  x  x  1 Do đó (1) được chứng minh . * Với x thuộc đoạn  0;1 thì f’(x)  f’(0), nên f(x) đồng biến trên đoạn 0;1 . Suy ra: với x thuộc đoạn  0;1 thì f(x)  f(0) Do đó (2) được chứng minh. 3Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có : 5 1 x 5  1  x   16 Bài giải: 5 1 ...