SKKN: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số - Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt

Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số, một nội dung mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải. Hi vọng phương pháp này sẽ xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số của học sinh. Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đối tượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướng sáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức và giới hạn hàm số. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo sáng kiến “Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số - Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số - Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMSỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾNĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀTÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - TRƯỜNG CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT A.Phần mở đầu Trong cuộc đời học sinh của mỗi người, thậm chí cả giáo viên chúng takhi tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức đều quan tâm đến nguồn gốc xuất phátcủa bài toán chứng minh bất đẳng thức. Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡnghọc sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tạisao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này “ ; “ Tại saođể tính giới hạn này người ta thêm bớt lượng này thì không được, nhưng thêmbớt lượng kia lại giải ra “. Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí của tôivà luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó. Hình ảnh trực quan về tiếp tuyến của một đường cong là cơ sở để giảithích những câu hỏi đó của các em học sinh. Cũng từ đó đã nảy sinh ra việcnghiên cứu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm sốmà được gọi là phương pháp tiếp tuyến. Phương pháp này thể hiện được nguồngốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyếnđể chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số “ với mục đích cungcấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh và quan trọng hơn cả làgiúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sángtạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản, từ những hình ảnhhết sức trực quan. Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìmgiới hạn của hàm số là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải mộtlớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số, một nội dungmà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặprất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải. Hi vọng phương phápnày sẽ xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giớihạn hàm số của học sinh. Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đốitượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đangchuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướngsáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức và giới hạn hàm số. B.Phần nội dung1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thứca.Cơ sở lí thuyết : Nếu y  ax  b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A  x0 ; f  x0   ( Akhông phải là điểm uốn ), khi đó tồn tại  ;   chứa x0 sao cho f ( x)  ax  bx   ;   hoặc f ( x)  ax  b x   ;   . Đẳng thức xảy ra khi x  x0 .Từ đây ta cóf  x1   f  x2   ...  f  xn   a ( x1  x2  ...  xn )  nb hoặcf  x1   f  x2   ...  f  xn   a ( x1  x2  ...  xn )  nb với x1 , x2 ,..., xn   ;   và đẳng thứcxảy ra khi x1  x2  ...  xn  x0Nếu x1  x2  ...  xn  k ( k không đổi ) thì f  x1   f  x2   ...  f  xn   ak  nb hoặcf  x1   f  x2   ...  f  xn   ak  nb với x1 , x2 ,..., xn   ;  b.Thực trạng vấn đề : Bất đẳng thức là một vấn đề rất quan trọng và khó đối với học sinh cấptrung học phổ thông. Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác địnhphương pháp giải vì không có một phương pháp và đường đi rõ ràng. Có nhữngcách giải từ trên trời rơi xuống. Học sinh không thể hiểu được vì sao người ta lạinghĩ ra được một bài toán như vậy, vì sao lại có một bài giải như vậy. Trong đềtài này tôi xin trình bày một phương pháp mà nếu học sinh không nắm được cơsở lí luận đó thì sẽ không hiểu tại sao lại có một lời giải như vậy, và khi học sinhnắm được cơ sở lí luận của phương pháp này rồi thì việc sử dụng phương phápnày thật rõ ràng cụ thể, các em sẽ có thể tự chứng minh được một lớp các bấtđẳng thức và có thể tự sáng tác ra các bài toán chứng minh bất đẳng thức.c.Các bước tiến hành Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặcđiểm từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạngcác biến được cô lập dạng f ( x1 )  ...  f  xn    hoặc f ( x1 )  ...  f  xn    . Sau đóthực hiện theo các bước sau : Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và điều mong ước là x1  ...  xn  x0 Dựa vào hình thức của BĐT, xét hàm số f ( x ) , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm có hoành độ x0 , giả sử phương trình tiếp tuyến là y  g ( x) . k Viết f ( x)  g ( x)   x  x0  h( x) , trong đó h  x0   0 , k  2, k  , kiểm nghiệm f ( x)  g ( x)  0x  D hoặc f ( x)  g ( x)  0x  D . Từ đó đưa ra lời giải : ta có f ( xi )  g ( xi )  0 hoặc f ( xi )  g ( xi )  0xi  D , xi  D, i  1, n Cộng n bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứn ...