Số phức trong chứng minh hình học phẳng

Tài liệu Số phức trong chứng minh hình học phẳng được biên soạn với các nội dung: Một số khái niệm cơ bản, ứng dụng vào giải toán. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập và giải các bài toán về hình học phẳng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Số phức trong chứng minh hình học phẳngSPH C TRONG CH NG MINH HÌNH H C PH NGBatigoal_mathscope.orgHoangquan9@gmail.comI.M T SKHÁI NI M CƠ B N1. Kho ng cách gi a hai i mGi s có 2 s ph c z1 và z2 bi u di n hai i m M 1 và M 2 trên m t ph ng t a.Khi ó kho ng cách gi a hai i m M 1 và M 2 ư c tính theo công th cM 1M 2 = z1 − z2t d( z1 , z2 ) = z1 − z2ư c xácnh như sau:a, d( z1 , z2 ) ≥ 0 ∀z1 , z2 ∈ Cd( z1 , z2 ) = 0⇔ z1 = z2b, d( z1 , z2 ) = d( z2 , z1 ) ∀z1 , z2 ∈ Cc, d( z1 , z2 ) ≤ d( z1 , z3 ) + d( z3 , z2 ) ∀z1 , z2 , z3 ∈ C2.Chia o n th ng theo t l k ≠ 1 ( k ∈ R )a. Cho 2 i m phân bi t A và B trên m t ph ng t aư c bi u di n b i 2 sph c a và b . G i M là i m tùy ý ư c bi u di n b i s ph c z . i m M chiao n AB theo t s k ≠ 1 như sau:uuuruuurMA = K MBưa v s ph c ta có a - z = k(b - z) hay (1 - k)z = a - kb.Tó z=a − kb1− kChú ý : V i k = −1 thì M là trung i m AB.b. . Cho 3 i m không th ng hàng A, B và C trên m t ph ng t aư c bi u di nb i 3 s ph c a, b và c. G i G là tr ng tâm tam giác ABC. Khi ó i m G ư cbi u di n theo s ph c là zG =a+b+c.33 i m th ng hàng, hai ư ng th ng vuông góc.3. i u ki nG i z1 , z2 , z3 , z4 là các s ph c l n lư t bi u di n cho các i m M 1 , M 2 , M 3 ,M 4 trên m t ph ng ph c.M nh3.1 : Ba i m M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng khi và ch khi:z3 − z1∈ R*z2 − z1Ch ng minh: Th t v y , ba i m M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng khi và chkhi M 2 M 1M 3 ∈ {0; π } hay acgumentM nhz3 − z1z −z∈ {0; π } , t c là 3 1 ∈ R*z2 − z1z2 − z13. 2 Hai ư ng th ng M 1M 2 , M 3 M 4 vuông góc v i nhau khi và ch khiz1 − z2∈ iR*z3 − z 4 π 3π Ch ng minh: Th t v y, ta có M 1M 2 ⊥ M 3 M 4 ⇔ ( M 1M 2 , M 3 M 4 ) ∈  ; 2⇔ acgumentz1 − z2  π 3π ∈ ; . Tz3 − z 4  2 2 ó ta cóz1 − z2∈ iR* .z3 − z 4Chú ý : N u M 2 ≡ M 4 thì M 1M 2 ⊥ M 3 M 2 khi và ch khi4. Tam giác2 z1 − z2∈ iR*z3 − z 2ng d ngG i a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 là các s ph c l n lư t bi u di n cho các i m A1 , A2 ,A3 , B1 , B2 , B3 trên m t ph ng ph c.M nhHai tam giác A1 A2 A3 và B1 B2 B3ng d ng v i nhau khi và ch khia2 − a1 b2 − b1=a3 − a1 b3 − b1Ch ng minhA1 A2 A3B1 B2 B3 ⇔và acgumentA1 A2 B1 B2và A3 A1 A2 = B3 B1B2 , T=A1 A3 B1 B3óa2 − a1b −ba −a b −b= acgument 2 1 . Suy ra 2 1 = 2 1 .a3 − a1b3 − b1a3 − a1 b3 − b1a2 − a1b −b= 2 1a3 − a1b3 − b1Ví d : Trên các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC, v các tam giác ADB,ng d ng v i nhau. Ch ng minh r ng ABC và DEF có cùng tr ngBEC, CFAtâm.Ch ng minhTheo gi thi t các tam giác ADB, BEC, CFAng d ng v i nhau nên ta có :d −a e−b f −c===zb−a c −b a −cTó ta có d = a + (b - a)z, e = b + (c - b)z, f = c + (a - c)z.Nên tính ư cd +e+ f a+b+c=33V y hai tam giác ABC và DEF có cùng tr ng tâm.5.Ph n th c c a tích hai s ph cCho a và b là hai s ph cnh nghĩa Ph n th c tích c a hai s ph c a và b là m t s cho b i1a.b = (ab + ab)212Ta d th y a.b = (ab + ab) = a.b . V y a.b là s th cM nh5.1 Cho a, b, c, z là các s ph c, khi ó:1, a.a = a22, a.b=b.a3, a(b+c)=a.b+a.c4, (α a )b = α (ab) = a(α b), ∀α ∈ R5, a.b = 0 ⇔ OA ⊥ OB , trong ó a và b là bi u di n c a i m A và i m B trênm t ph ng ph c.26, (a.z).(b.z)= z (a.b)M nh5.2Cho 4 i m phân bi t A, B, C, D phân bi t ư c bi u di n b i 4 s ph c a, b, c, dtương ng.Khi ó các kh ngnh sau là tương ương:1, AB ⊥ CD2, (b-a).(d-c) = 03,b−ab−a∈ iR* (ho c Re() = 0)d −cd −cCh ng minh(1) ⇒ (2)L y i m M(b-a) và N(d-c).Khi ó OABM và OCDN là các hình bìnhhành.Ta có AB ⊥ CD khi và ch khi OM ⊥ ON , nghĩa là m.n=(b-a).(d-c)=0 (theo m nh5.1)(2) ⇔ (3) ư c suy ra theonh nghĩa c a tích s th cII . NG D NG VÀO GI I TOÁNVí d 1Cho t giác ABCD. Ch ng minh r ng AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 khi và ch khiAC ⊥ BD .Ch ng minhG i a, b, c, d là các s ph c bi u di n cho cácnh A,B , C, D c a t giác ABCD.Theo gi thi t ta có AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2⇔ (b-a)(b-a)+(d-c)(d-c)=(d-a)(d-a)+(c-b)(c-b)⇔ a.b + c.d = b.c + d.a⇔ (c - a) . (d - b) = 0 ⇔ AC ⊥ BDNh n xét Rõ ràng ng d ng s ph cch ng minh thì bài toán ơn gi n và ng ng n hơn nhi u so v i làm hình h c thông thư ng.Ví d 2Cho t di n ABCD. G i E, F, G, H l n lư t là trung i m c a các c nh AB, BC,CD, DA.Ch ng minh r ng AB ⊥ CD khi và ch khi BC 2 + AD 2 = 2( EG 2 + FH 2 ) .Ch ng minhG i a,b,c,d,e,f,g,h là các s ph c bi u di n cho các i m A, B, C, D, E, F, G, H.Khi ó ta có :e=a+bb+cc+dd +a, f =, g=, h=.2222T gi thi t ta có BC 2 + AD 2 = 2( EG 2 + FH 2 )Tr thành (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) = 2(g-e)(g-e)+2(h-f)(h-f)⇔ (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) =11= (c + d − a − b)(c + d − a − b) + (a + d − b − c)(a + d − b − c)22⇔ c.c + b.b + d.d + a.a - 2b.c - 2a.d = a.a + b.b + c.c + d.d - 2a.c - 2b.d⇔ a.d + b.c = a.c + b.d.⇔ (a - b).(d - c) = 0 ⇔ AB ⊥ CD .( i u ph i ch ng minh).Ví d 3Cho tam giác ABC có tr ng tâm G. và AA1 , BB1 , CC1 l n lư t là các ư ng trungtuy n xu t phát tnh A, B, C.Ch ng minh r ng v i m i i m M b t kì ta luôncó:MA2 + MB 2 + MC 2 + 9MG 2 = 4( MA12 + MB12 + MC12 ) (*)Ch ng minhG i a, b, c, g, a1 , b1 , c1 l n lư t là các s ph c bi u di n các i m A, B, C,G,A1 , B1 , C1 trên m t ph ng ph c.Khi ó ta có :g=a+b+cb+cc+aa+b; a1 =; b1 =; c1 =3222V trái (*) = MA2 + MB 2 + MC 2 + 9 MG 2= (m - a).(m - a) + (m - b).(m - b) + (m - c).(m - c) + 9(m − g )(m − g )= (m-a).(m-a) + (m-b).(m-b) + (m-c).(m-c) + 9(m −a+b+ca+b+c)(m −)33= 12 m − 8(a + b + c).m + 2( a + b + c ) + 2a.b + 2b.c + 2c.a2222(1) ...