Sử dụng đào hàm cấp hai giải một số các phương trình, hệ phương trình

Tham khảo tài liệu sử dụng đào hàm cấp hai giải một số các phương trình, hệ phương trình, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng đào hàm cấp hai giải một số các phương trình, hệ phương trình TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH TỔ TOÁNSỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐCÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH gv: TRẦN XUÂN BANG Đồng Hới, tháng 4 năm 2012 1 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHI. Đặt vấn đề.Trong đề Dự bị thi vào Đại học năm 2007 khối A, có bài toán dưới đây:Bài toán 1. y x e  2007  y2 1Chứng minh rằng hệ phương trình  có đúng 2  x e  2007  y  x2 1 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0.Giải.  x  1  x  1Điều kiện của hệ  nhưng x > 0, y > 0 suy ra x > 1, y > 1.  y  1  y  1T a sẽ chứng minh hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x > 1, y > 1. Trước hết ta chứng minh từ hệ phương trình đã cho suy ra x = y.Cách 1.Xét các hàm số:f(t) = et , t > 1  f (t) > 0,  t > 1và  f tăng trên (1;  ). t 1 , t  1  g/ (t) gt   0, t  1  giảm trên (1;  ). 3 2 t 1 2 (t  1) 2Như thế, f tăng trên và g giảm trên (1;  ).  f  x   g  y   2007 Hệ phương trình (1)    f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (1)  f  y   g  x   2007 Nếu x > y  f(x) > f(y)  g(y) < g(x) ( do(1) )  y > x ( do g giảm )  vô lý.Tương tự khi y > x cũng dẫn đến vô lý.Vậy, ta có x = y.Cách 2. x yTừ hệ phương trình đã cho suy ra ex   ey  (2) x2 1 y2  1 tXét hàm số F(t)  et  , t  1 . Ta có : 2 t 1 2 t t2 1  t 1 t 2  1  et F (t)  e t   0, t  1 . 2 t 1 (t  1) t 2  1 2Suy ra, F đồng biến, liên tục trên (1;  ).(2)  f ( x )  f ( y )  x  y .  Hệ phương trình đã cho tương đương: x x e   2007  0 (*)  x2  1 x  y  xXét hàm số h(x) = ex  2  2007 , x > 1. x 1 3 1   Khi x > 1  h x   ex   ex  x 2  1 2 3   x2  1 2 5 32 3x   x  1 2 .2x  e x  h  x   e x  0 5 2 x  1 2 2Đến đây, có một số lời giải như sau:Lời giải 1. Đồ thị hàm số lõm, và hàm số nhận giá trị âm: 2 f  2   e2   2012  0 3Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm x1 > 1, x2 > 1.Vậy hệ phương trình đã ch ...