Sử dụng hàm lồi giải các bài toán cực trị trong tam giác

Báo viết "Sử dụng hàm lồi giải các bài toán cực trị trong tam giác" trình bày các áp dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để giải bài toán cực trị lượng giác dạng đối xứng và không đối xứng trong tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng hàm lồi giải các bài toán cực trị trong tam giác Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019SỬ DỤNG HÀM LỒI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Lê Thị Bình Trường THPT Sầm Sơn, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Báo cáo trình bày các áp dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để giải bài toán cực trị lượng giác dạng đối xứng và không đối xứng trong tam giác. 1 Tính chất của hàm lồi, lõm khả vi Định nghĩa 1.1 (xem [2],[3]). Hàm số f ( x ) được gọi là hàm lồi (lồi xuống dưới) trên tập I ( a, b) ⊂ R nếu với mọi x1 , x2 ∈ I ( a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có f (αx1 + βx2 ) ≤ α f ( x1 ) + β f ( x2 ). Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 ta nói hàm số f ( x ) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I ( a, b). Định lý 1.1 (xem [2],[3]). Nếu f ( x ) khả vi bậc hai trên I ( a, b) thì f ( x ) lồi (lõm) trên I ( a, b) khi và chỉ khi f 00 ( x ) ≥ 0 ( f 00 ( x ) ≤ 0) trên I ( a, b). Định lý 1.2. (Jensen). Giả sử f ( x ) liên tục trên [ a, b]. Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm số f ( x ) lồi trên I ( a, b) là x + x f ( x1 ) + f ( x2 ) 1 2 f ≤ , ∀ x1 , x2 ∈ I ( a, b). (1.1) 2 2 Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Karamata). Cho hai dãy số { xk , yk ∈ I ( a, b), k = 1, 2, . . . , n} thoả mãn các điều kiện x1 ≥ x2 > . . . ≥ x n , y1 ≥ y2 > . . . ≥ y n và    x1 ≥ y1  x1 + x2 ≥ y1 + y2     ......... (1.2)  x 1 + x 2 + · · · + x n −1 ≥ y 1 + y 2 + · · · + y n −1      x1 + x2 + · · · + x n = y1 + y2 + · · · + y n  1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Khi đó, ứng với mọi hàm lồi f ( x ) với f 00 ( x ) ≥ 0 trên I ( a, b), ta đều có f ( x1 ) + f ( x2 ) + . . . + f ( x n ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + . . . + f ( y n ). Tiếp theo, xét lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1,2). Sử dụng định lý Lagrange, ta có thể chứng minh kết quả sau.Bổ đề 1.1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai f 00 ( x ) trên khoảng ( a, b).a) Nếu f 00 ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ( a, b), tức hàm số f ( x ) khả vi bậc hai và lồi trên ( a, b), thì f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f 0 ( x0 )( x − x0 ) với x0 ∈ ( a, b).b) Nếu f 00 ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ ( a, b), tức hàm số f ( x ) khả vi bậc hai và lõm trên ( a, b), thì f ( x ) ≤ f ( x0 ) + f 0 ( x0 )( x − x0 ) với x0 ∈ ( a, b). Tiếp theo, ta xét lớp các hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1,2), đó là các hàm đồng thời cóđạo hàm bậc nhất và bậc hai không đổi dấu trên I ( a, b).Định nghĩa 1.2 (xem [3]). Nếu hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai đều dươngtrong khoảng đang xét thì ta nói hàm số đó đồng biến liên tiếp bậc (1, 2) trên khoảng đãcho.Định nghĩa 1.3 (xem [3],[5]). Nếu hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai đều âmtrong khoảng đang xét thì ta nói hàm số đó nghịch biến liên tiếp bậc (1, 2) trên khoảng đãcho.Định lý 1.4 (xem [2],[3]). Cho hai dãy số { xk , yk ∈ I ( a, b), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn cácđiều kiện x1 + x2 + . . . + xn = y1 + y2 + . . . + yn . Khi đó, ứng với mọi hàm f 1 (t), f 2 (t), . . . , f n (t)đồng biến liên tiếp bậc (1, 2) trên khoảng I ( a, b), ta đều có n n f i ( xi ) f i ( yi ) ∑ 0 f i ( yi ) ≥ ∑ f 0 ( yi ) . i =1 i =1 iĐịnh lý 1.5 (xem [2],[3]). Cho hai dãy số { xk , yk ∈ I ( a, b), k = 1, 2, . . . , n}, thoảmãn các điều kiện x1 + x2 + . . . + xn = y1 + y2 + . . . + yn . Khi đó, ứng với mọi hàmf ...