Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng

Những hàm số không khả vi xuất hiện thường xuyên và được biết đến từ lâu trong toán học và cá khoa học ứng dụng khác, Vì lý thuyết vi phân cổ điển không thể ứng dụng được cho việc khảo sát những đối tượng không khải vi, nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã ra đời và đã được xây dựng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành t i trư ng Đ i h c sư ph m Hà N i 2 dư is hư ng d n c a PGS.TS Nguy n Năng Tâm. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành, sâu s c t i PGS.TS Nguy nNăng Tâm, ngư i đã luôn quan tâm, đ ng viên và t n tình hư ng d ntác gi trong quá trình th c hi n lu n văn. Tác gi xin đư c g i l i c m ơn chân thành Ban giám hi u trư ngĐ i h c sư ph m Hà N i 2, phòng Sau đ i h c, các th y cô giáo trongnhà trư ng và các th y cô giáo d y cao h c chuyên ngành Toán gi i tíchđã t o đi u ki n thu n l i trong quá trình tác gi h c t p và nghiên c u. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn t i gia đình, ngư i thân đã đ ng viênvà t o m i đi u ki n đ tác gi có th hoàn thành b n lu n văn này. Hà N i, ngày 15 tháng 8 năm 2010 Tác gi Nguy n Th Thanh L I CAM ĐOAN Tác gi xin cam đoan lu n văn là công trình nghiên c u c a riêng tácgi dư i s hư ng d n c a PGS.TS Nguy n Năng Tâm. Hà N i, ngày 15 tháng 8 năm 2010 Tác gi Nguy n Th ThanhM cl cM đ u 11 T p l i và hàm l i 3 1.1. Đ nh nghĩa t p l i và các tính ch t . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Đ nh nghĩa hàm l i và các tính ch t . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Hàm l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Các phép toán v hàm l i . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Tính liên t c c a hàm l i . . . . . . . . . . . . . 92 Dư i vi phân hàm l i 12 2.1. Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . 12 2.2. M t s phép toán dư i vi phân . . . . . . . . . . . . . . 193 ng d ng c a dư i vi phân hàm l i 25 3.1. M t s tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Tài li u tham kh o 32 ii B NG KÍ HI URn không gian Euclid n- chi u trên t p s th cR t p s th c (R = R1 )N t p s nguyên dươngR = R ∪ {−∞, +∞} t p s th c suy r ng n x = xi 2 ch n Euclid c a x i=1F :X Y ánh x đa tr t X vào Ydomf mi n h u hi u c a fepif trên đ th c a fint Ω ph n trong c a Ωri Ω ph n trong tương đ i c a Ωcone Ω nón l i sinh b i ΩN (¯, Ω) x nón pháp tuy n c a Ω t i x ¯f (x; v) đ o hàm theo hư ng c a f t i x theo hư ng v c a f t i x theo hư ng v∂f (x) dư i vi phân c a f t i x M Đ U1. Lý do ch n đ tài Nh ng hàm s không kh vi xu t hi n thư ng xuyên và đư c bi tđ n t lâu trong Toán h c và các khoa h c ng d ng khác. Vì lý thuy tvi phân c đi n không th ng d ng đư c cho vi c kh o sát nh ng đ itư ng không kh vi, nên các lý thuy t vi phân suy r ng đã ra đ i và đãđư c xây d ng. Lý thuy t vi phân suy r ng đ u tiên là lý thuy t vi phânsuy r ng cho các hàm l i. V i nh ng c ng hi n quan tr ng c a T. R.Rockafellar và m t s nhà toán h c khác, ngày nay Gi i tích l i đã trthành m t b ph n quan tr ng và đ p đ c a Gi i tích toán h c, gópph n gi i quy t đư c nhi u bài toán trong th c t ([1], [7]). V i mongmu n đư c tìm hi u sâu hơn v s phát tri n c a phép tính vi-tích phânvà ng d ng c a nó, tôi đã ch n nghiên c u đ tài: “Dư i vi phân c ahàm l i và ng d ng”.2. M c đích nghiên c u Đ tài nghiên c u các k t qu đ t đư c v dư i vi phân c a hàm l ivà m t s ng d ng vào bài toán t i ưu.3. Nhi m v nghiên c u Vi c nghiên c u lu n văn v i nhi m v h th ng, làm rõ khái ni mdư i vi phân c a hàm l i và m t s tính ch t, t đó trình bày ng d ngc a nó trong m t s bài toán.4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u - Dư i vi phân c a hàm l i và m t s tính ch t. - ng d ng c a dư i vi phân hàm l i. 25. Phương pháp nghiên c u - T ng h p ki n th c thu th p đư c qua nh ng tài li u liên quan đ nđ tài, s d ng các phương pháp nghiên c u c a gi i tích, gi i tích l i,gi i tích đa tr , t i ưu hoá.6. Nh ng đóng góp c a đ tài -Trình bày m t cách có h th ng các ki n th c cơ b n v dư i vi phânc a hàm l i và m t s tính ch t. Nghiên c u ng d ng c a dư i vi phânhàm l i trong m t s bài toán.Chương 1T p l i và hàm l i1.1. Đ nh nghĩa t p l i và các tính ch tĐ nh nghĩa 1.1.1. T p A ⊂ Rn đư c g i là l i n u ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ R:0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ A.Đ nh lý 1.1.1. Giao c a m t h tùy ý các t p l i trong Rn là m t t pl i trong RnCh ng minh. Gi s Aα ∈ Rn (α ∈ I) là các t p l i v i I là t p ch sb t kì, ta c n ch ng minh t p A = ∩ Aα là l i. α∈IL y tùy ý x1 , x2 ∈ A. Khi đó x1 , x2 ∈ Aα , v i ∀α ∈ I. Do Aα là l i chonên λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Aα v i ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.Vì v y A là t p l i.H qu 1.1. Cho bi ∈ Rn ; βi ∈ R; i ∈ I v i I là t p ch s tùy ý. Khi đóA = {x ∈ Rn / x; bi ≤ βi ; i ∈ I} là m t t p l i trong Rn .Đ nh lý 1.1.2. Gi s Ai ⊂ Rn l i; λi ∈ R (i = 1, 2,..., m). Khi đóλ1 A1 + λ2 A2 + ... + λm Am là l i.Đ nh nghĩa 1.1.2. Vectơ x ∈ Rn đư c g i là t h p l i c a các vectơ m m nx1 , ..., xm ∈ R n u ∃λi ≥ 0 (i = 1, ...