Luận văn: Căn và đế của Module

Luận văn: Căn và đế của Module nhằm hệ thống hóa các khái niệm về modulue, căn và đế của modulue kèm theo các ví dụ minh họa, nghiên cứu tính chất cơ bản của căn và đế, đi sâu nghiên cứu căn và đế của một số lớp vành, modulue, ngoài ra, khóa luận còn đưa ra hệ thống bài tập nhằm vận dụng và củng cố lý thuyết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: Căn và đế của Module Më ®Çu1. LÝ do chän ®Ò t i CÊu tróc module xuÊt hiÖn trong hÇu hÕt c¸c lÝ thuyÕt to¸n häc hiÖn ®¹i,nã cã kh¶ n¨ng thèng nhÊt mét c¸ch b¶n chÊt c¸c cÊu tróc v nh, ideal, nhãmAbel v kh«ng gian vÐc t¬. TÝnh linh ho¹t v phæ qu¸t cña module ® mang l¹inh÷ng øng dông to lín. Th«ng qua lÝ thuyÕt module, chóng ta sÏ cã dÞp soi s¸ng,cñng cè lÝ thuyÕt vÒ kh«ng gian vÐc t¬ v nhiÒu lÝ thuyÕt to¸n häc kh¸c. Trong lÝ thuyÕt module, chóng ta ® biÕt ®Õn module con tèi ®¹i vmodule con ®¬n, tõ ®ã chóng ta x©y dùng ®−îc kh¸i niÖm c¨n v ®Õ cña module.§©y l hai c«ng cô quan träng rÊt cã hiÖu lùc trong viÖc nghiªn cøu, t×m hiÓu lÝthuyÕt module. C¨n v ®Õ cña module cïng víi nh÷ng tÝnh chÊt cña nã ® trëth nh nh÷ng kiÕn thøc c¬ së ®ãng vai trß to lín trong viÖc nghiªn cøu vÒ ®ångcÊu v nh v mét sè module nh−: Module h÷u h¹n sinh, module néi x¹, modulex¹ ¶nh,... Tõ ®ã chóng ta cã kh¶ n¨ng t×m hiÓu s©u h¬n mét sè ®Æc tr−ng cñav nh v module. L sinh viªn ng nh S− ph¹m To¸n, trªn c¬ së ® ®−îc trang bÞ nh÷ng kiÕnthøc nÒn t¶ng vÒ module v víi mong muèn ®−îc häc hái, trau dåi thªm vènkiÕn thøc vÒ to¸n häc nãi chung v lÝ thuyÕt module nãi riªng. ChÝnh v× vËy t«i® lùa chän ®Ò t i: “ C¨n v ®Õ cña module ” cho kho¸ luËn tèt nghiÖp cñam×nh. Trong ®Ò t i n y t«i dù kiÕn hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒmodule l m c¬ së lÝ luËn ®Ó t×m hiÓu c¨n v ®Õ v tõng b−íc ®i s©u nghiªn cøunã. Thªm v o ®ã t«i cßn tr×nh b y hÖ thèng b i tËp ¸p dông nh»m hiÓu s©u h¬nphÇn lÝ thuyÕt.2. Môc ®Ých nghiªn cøu HÖ thèng ho¸ mét c¸ch khoa häc c¸c kh¸i niÖm vÒ module, c¨n v ®Õ cñamodule kÌm theo c¸c vÝ dô minh ho¹, nghiªn cøu tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¨n v ®Õ,®i s©u nghiªn cøu c¨n v ®Õ cña mét sè líp v nh, module. Ngo i ra, kho¸ luËncßn ®−a ra hÖ thèng c¸c b i tËp nh»m vËn dông v cñng cè lÝ thuyÕt.3. §èi t−îng v ph¹m vi nghiªn cøu §èi t−îng chÝnh m kho¸ luËn nghiªn cøu l c¨n v ®Õ cña module, trong 3®ã tËp trung v o c¸c tÝnh chÊt cña nã. Bªn c¹nh ®ã, kho¸ luËn cßn tr×nh b y hÖthèng c¸c kh¸i niÖm bæ trî cã thÓ coi nh− kiÕn thøc chuÈn bÞ phôc vô cho viÖcnghiªn cøu c¸c ®èi t−îng chÝnh v hÖ thèng b i tËp ¸p dông nh»m cñng cè lÝthuyÕt.4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu + Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc hÕt l ®äc c¸c t i liÖu liªn quan®Õn ®¹i sè hiÖn ®¹i, module ®Ó t×m hiÓu c¬ së lÝ luËn l m tiÒn ®Ò nghiªn cøu ®èit−îng chÝnh. Sau ®ã l ®äc, nghiªn cøu v hiÓu vÒ ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña c¨nv ®Õ module qua c¸c t i liÖu liªn quan. + Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm: Tæng hîp v hÖ thèng ho¸ kiÕn thøcvÒ vÊn ®Ò nghiªn cøu ®Çy ®ñ v khoa häc, ®−a v o c¸c vÝ dô minh ho¹ chi tiÕt.5. ý nghÜa khoa häc v thùc tiÔn Kho¸ luËn cã thÓ l t i liÖu tham kh¶o cho nh÷ng sinh viªn chuyªn ng nhTo¸n cã mong muèn t×m hiÓu s©u h¬n vÒ cÊu tróc cña module m cô thÓ l vÒc¨n v ®Õ cña module.6. Bè côc cña kho¸ luËn Ngo i c¸c phÇn Më ®Çu, KÕt luËn v T i liÖu tham kh¶o, néi dung cñakho¸ luËn gåm ba ch−¬ng. Ch−¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ Ch−¬ng n y tr×nh b y mét c¸ch cã hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊtvÒ lÝ thuyÕt module. Cô thÓ l : §¹i c−¬ng vÒ module: Trong ®ã bao gåm c¸c néidung nh− t×m hiÓu vÒ module, module con, module th−¬ng, ®ång cÊu module,tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè module th−êng gÆp. Sau ®ã ltr×nh b y nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n cña mét sè cÆp module ®Æc biÖt cã tÝnh chÊt ®èingÉu víi nhau nh−: Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu; module x¹ ¶nh, néi x¹;module sinh, ®èi sinh; module Noether, Artin. Ch−¬ng 2: C¨n v ®Õ cña module §©y l ch−¬ng chøa ®ùng néi dung chÝnh cña kho¸ luËn. Trong ®ã t×m hiÓu®Þnh nghÜa v c¸c tÝnh chÊt cña c¨n v ®Õ module. Tõng b−íc ®i s©u nghiªn cøuc¨n v ®Õ trªn c¬ së nghiªn cøu c¨n cña module x¹ ¶nh, module h÷u h¹n sinh, ®Õcña module h÷u h¹n ®èi sinh, c¨n cña v nh… 4 Ch−¬ng 3: B i tËp ¸p dông Ch−¬ng n y tr×nh b y hÖ thèng b i tËp cïng lêi gi¶i nh»m ¸p dông v cñngcè l¹i phÇn lÝ thuyÕt ® tr×nh b y ë hai ch−¬ng tr−íc ®ã. Ngo i ra l mét sè b itËp ®Ò nghÞ d nh cho ng−êi ®äc muèn t×m hiÓu thªm vÒ module, c¨n v ®Õ cñamodule. Trong to n bé kho¸ luËn, kh¸i niÖm v nh lu«n ®−îc gi¶ thiÕt l v nh giaoho¸n cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 . 5 Ch−¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ Ch−¬ng n y tr×nh b y nh÷ng kh¸i niÖm vÒ module, module con, moduleth−¬ng, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè lo¹imodule th−êng gÆp nh− module ®¬n, module tèi ®¹i, module tù do,... v mét sèlíp module quan träng cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu: Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu;module x¹ ¶nh, néi x¹; module sinh, ®èi sinh; module Noether, Artin. §©y lnh÷ng kiÕn thøc më ®Çu gióp chóng ta tiÕp cËn v t×m hiÓu vÒ c¨n v ®Õ cñamodule.1.1. §¹i c−¬ng vÒ module Trong phÇn n y ta t×m hiÓu nh÷ng kiÕn thøc chung nhÊt v ...