Luận văn: Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

Luận văn: Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính nhằm mục tiêu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm đặc biệt và phương trình tích phân tuyến tuyến tính trên không gian Hillnert,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: Một số dạng phương trình tích phân tuyến tínhTrư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh MôC LôC TrangMë ®Çu……………………………………………….…………………………..3Ch−¬ng 1: KIÕN THøC chuÈn bÞ.……………………………………………...51.1. Bæ xung vÒ kh«ng gian Banach……………………………………………..51.1.1. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn…………………………………………………...51.1.2. Kh«ng gian Banach………………………………………………………101.1.3. Kh«ng gian Banach kh¶ li………………………………………………..101.1.4. To¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc………………………………………………. 91.2. Kh«ng gian Hilbert………………………………………………………...121.2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian tiÒn Hilbert……………………………………...121.2.2. BÊt ®¼ng thøc schwarz, chuÈn trªn kh«ng gian tiÒn Hilbert……………..121.2.3. Kh¸i niÖm kh«ng gian Hilbert…………………………………………...141.2.4. HÖ thèng trùc giao v trùc chuÈn………………………………………...151.2.4.1. Vect¬ trùc giao……………………………………………..………… 151.2.4.2. Mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n…………………………………..………….161.2.4.3. HÖ thèng trùc giao……………………………………………..………171.2.4.4. HÖ thèng trùc chuÈn…………………………………………...……….171.2.4.5. BÊt ®¼ng thøc Bessel…………………………………………..……….191.2.4.6. HÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ……………………………………………..……201.2.4.7. C¸c ®Þnh lý………………………………………………………..……201.2.4.8. C¬ së trùc chuÈn…………………………………………………….....231.2.5. PhÐp chiÕu…………………………………………………………….….241.2.6. Gi¸ trÞ riªng, vect¬ riªng…………………………………………………261.2.7. Kh«ng gian Hilbert t¸ch ®−îc……………………………………………281.2.8. §Þnh lý biÓu diÔn Riesz, phiÕm h m tuyÕn tÝnh v song tuyÕn tÝnh trªnkh«ng gian Hilbert……………………………………………………………...311.2.9. To¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert……………………………...361.2.9.1. To¸n tö tù liªn hîp……………………………………………..........…361.2.9.2. To¸n tö ®èi xøng……………………………………………….............36 1Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh1.2.9.3. To¸n tö ho n to n liªn tôc……………………………………………..401.2.10. To¸n tö tÝch ph©n………………………………………………………431.2.11. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n………………………………………………….461.2.12. B i to¸n dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n………………………………...47Ch−¬ng 2: MéT Sè D¹NG PH¦¥NG TR×NH TÝCH PH¢N TUYÕN TÝNH………492.1.Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch ®èi xøng………………………………….492.1.1. §Þnh nghÜa 2.1…………………………………………………………...492.1.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….492.2. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch tho¸i ho¸………………………………...512.2.1. §Þnh nghÜa 2.2…………………..……………………………………….512.2.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….512.2.3. §inh lý Fredholm ( tr−êng hîp h¹ch tho¸i ho¸ )………………………...562.3.Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch kh«ng ®èi xøng…………………………..562.3.1. §Þnh nghÜa 2.3……..…………………………………………………….562.3.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….572.3.3. §Þnh lý Fredholm ( trong tr−êng hîp tæng qu¸t )………………………..612.4. Ph−¬ng tr×nh Volterra……………………………………………………...612.5. Mét sè c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh……………………….622.5.1. P−¬ng ph¸p ®¹i sè………………………………………………………..612.5.2. Ph−¬ng ph¸p xÊp xØ……...………………………………………………622.5.3. Ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp……….....……………………………………..642.5.4. B i tËp ¸p dông…………………………………………………………..67KÕt luËn……………………………………………………………………..….84T i liÖu tham kh¶o……………………………………………………..........….85 2Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh Më ®Çu1) Lý do chän ®Ò t i Gi¶i tÝch h m l mét ng nh To¸n häc ®−îc x©y dùng v o kho¶ng ®Çu thÕkû XX v ®Õn nay hÇu nh− ® ®−îc xem nh− mét ng nh to¸n häc cæ ®iÓn. Trongqu¸ tr×nh ph¸t triÓn, Gi¶i tÝch h m ® tÝch lòy ®−îc mét néi dung hÕt søc phongphó. Nh÷ng ph−¬ng ph¸p v kÕt qu¶ mÉu mùc, tæng qu¸t cña Gi¶i tÝch h m ®x©m nhËp v o tÊt c¶ c¸c ng nh to¸n häc cã liªn quan v sö dông ®Õn c«ng côGi¶i tÝch v kh«ng gian vect¬. ChÝnh ®iÒu ®ã ® më ra ph¹m vi nghiªn cøu líncho ng nh To¸n häc. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n trªn kh«ng gian Hilbert l mét m¶ng trong gi¶i tÝchh m ®−îc x©y dùng tõ c¸c b i to¸n thùc tÕ trong vËt lý, ho¸ häc v nhiÒu khoahäc øng dông kh¸c. Cô thÓ nh− trong nghiªn cøu tÝnh ® n håi, tÝnh dÎo, nhiÖt vsù thay ®æi khèi l−îng cña vËt, lý thuyÕt dao ®éng, lý thuyÕt xÕp b¶ng, kü thuËt®iÖn, kinh tÕ, y häc,... Víi mong muèn ®−îc nghiªn cøu v t×m hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ bé m«n n yv b−íc ®Çu tiÕp cËn víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc, em ® chän ®Ò t i “Métsè d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh”.2) Môc ®Ých và nhi m v nghiªn cøu B−íc ®Çu gióp em l m quen víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc v t×mhiÓu s©u h¬n vÒ Gi¶i tÝch h m ®Æc biÖt vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªnkh«ng gian Hilbert. HÖ thèng l¹i nh÷ng c¬ së lý thuyÕt cÇn thiÕt vÒ to¸n tö trªn kh«ng gianHilbert tõ ®ã ®−a ra mét sè d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«nggian Hilbert v sù tån t¹i nghiÖm cña nh÷ng ph−¬ng tr×nh d¹ng n y. §Æc biÖt hÖthèng ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n bao gåm ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸,ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp, ...