Sử dụng phép vị tự tìm ảnh của đường tròn Euler

Trong chương trình Hình Học lớp 10, khi gặp bài toán về lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ các em có nhiều hướng giải khác nhau, tuy nhiên các em chưa được học phép vị tự nên còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số bài toán liên quan đến kiến thức về đường tròn “Euler”. Bài viết này sẻ giúp cho các em học sinh có cách nhìn về mối liên hệ giữa kiến thức ở lớp 10 và lớp 11, đồng thời các em có thêm một phương pháp giải toán về lập phương trình đường tròn bằng kiến thức phép vị tự. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng phép vị tự tìm ảnh của đường tròn Euler Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ TÌM ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN E ULER Lường Văn Hưng Trường THPT Hoằng Hóa 4, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Nghiên cứu phép vị tự, đồng thời khai thác các ứng dụng của nó giúp cho người giáoviên hiểu sâu về vai trò của phép vị tự trong dạy học toán ở trường THPT đồng thời giúpcho các em học sinh có thêm kiến thức cũng như kỷ năng giải toán. Trong chương trình Hình Học lớp 10, khi gặp bài toán về lập phương trình đườngtròn trong mặt phẳng tọa độ các em có nhiều hướng giải khác nhau, tuy nhiên các emchưa được học phép vị tự nên còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số bài toán liênquan đến kiến thức về đường tròn “Euler”. Bài viết này sẻ giúp cho các em học sinh cócách nhìn về mối liên hệ giữa kiến thức ở lớp 10 và lớp 11, đồng thời các em có thêm mộtphương pháp giải toán về lập phương trình đường tròn bằng kiến thức phép vị tự.1 Kiến thức cơ bảnĐịnh nghĩa 1.1 (Định nghĩa phép vị tự). Trong mặt phẳng cho trước một điểm O và số −−→ −−→thực k khác 0, phép biến hình biến mọi điểm M thành M0 sao cho OM0 = kOM được gọilà phép vị tự tâm O tỉ số kt - Kí hiệu: VOk hay V (O, k ). Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi làtỉ số vị tự. Ta xét một số tính chất của phép vị tự.Tính chất 1.1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M0 −−−→ −−→và N 0 thì M0 N 0 = k MN và M0 N 0 = |k | MN.Tính chất 1.2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khônglàm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.Tính chất 1.3. Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.Tính chất 1.4 (Đường tròn Euler). Trong một tam giác bất kì, 9 điểm gồm: chân ba đườngcao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh đềuthuộc một đường tròn 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/20192 Ví dụ áp dungVí dụ 2.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trựctâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB,HC có phương trình là:. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Lời giải. Gọi trung điểm của HA, HB, HC, BC, CA, AB lần lượt là: I, J, K, M, N, P Đườngtròn đi qua 3 điểm I, J, K chính là đường tròn Euler nên cũng là đường tròn ngoại tiếptam giác MNP. +. Dễ thấy: ∆ABC là ảnh của ∆MNP qua phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 ⇒ đườngtròn ngoại tiếp ∆ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ∆MNP Ta có đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có phương trình: x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0có tâm K(1;-2), R =1. Gọi K1, R1 là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì:−−→ −→GK1 = −2GK , R1 = 2R ⇒ K1 (1; 10), R1 = 2 ⇒ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ( x − 1)2 + (y − 10)2 = 4Ví dụ 2.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H (2; 1) và phươngtrình đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác ABC có phương trình (C ) :x2 + y2 − 4x − 4y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Lời giải. √ Ta có (C) có tâm I (2; 2), bán kính R = 7. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC vàM, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC và biếnđường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biến −→ − → √tâm I thành tâm I 0 được xác định GI 0 = −2GI ; R0 = 2R = 2 7. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 −→ −→ − → Mặt khác theo tính chất của đường thẳng Euler: GH = −2GI 0 = 4GI ⇒ G (2; 73 ) Suyra I 0 (2; 3). Đường tròn đi qua ba chân đường cao đồng thời là đường tròn đi qua trung điểm cáccạnh nên trùng với đường tròn (MNP) ngoại tiếp tam giác MNP. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( x − 2)2 + (y − 3)2 = 28Ví dụ 2.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (2; 3). Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNPcó phương trình là (C ) : ( x − 1)2 + (y − 1)2 = 10. Viết phương trình đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC. √Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I (1; 1), bán kính R = 10. Phép vị tự tâm G tỷ số k = ...