Bài Tập Hình Học Vi Phân

Cho hàm f : R2 −→ R, (x, y) −→ sin x. Dùng đ nh nghĩa ch ng minh Df (a, b) = α, v i α xác đ nh b i α(x, y) = (cos a)x. Bài t p 1.2. Cho hàm f : Rn −→ R th a mãn đi u ki n |f (x)| ≤ x 2 . Ch ng minh f kh vi t i x = 0 và Df (0) = 0. Bài t p 1.3. Cho hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x|y| , + y 2 )2 n u (x, y) = (0, 0) n u (x, y) = (0, 0)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài Tập Hình Học Vi Phân Phép tính vi phân trên Rn 1 BÀI T P CHƯƠNG 1 Bài t p 1.1. Cho hàm f : R2 −→ R, (x, y ) −→ sin x. Dùng đ nh nghĩa ch ng minh Df (a, b) = α, v i α xác đ nh b i α(x, y ) = (cos a)x. Bài t p 1.2. Cho hàm f : Rn −→ R th a mãn đi u ki n |f (x)| ≤ x 2 . Ch ng minh f kh vi t i x = 0 và Df (0) = 0. Bài t p 1.3. Cho hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x|y |  , n u (x, y ) = (0, 0)   (x2 + y 2 )2 f (x, y ) =  0 n u (x, y ) = (0, 0) (a) Tính D1 f (0, 0) và D2 f (0, 0). (b) Ch ng minh f không kh vi t i (0, 0). Bài t p 1.4. Tìm đ o hàm c a các ánh x sau: (a) f (x, y, z ) = xy , x > 0. (b) f (x, y, z ) − (xy , x2 + z ), x > 0. (c) f (x, y ) = sin(x sin y ). (d) f (x, y ) = (sin(xy ), sin(x sin y ), xy ), x > 0. Bài t p 1.5. S d ng ví d x 1   + x2 sin , x=0 2 x f (x) = 0 x=0  Ch ng t r ng đi u ki n liên t c trong đ nh lí hàm ngư c không th b đư c. Bài t p 1.6. Cho hàm g liên t c trên đư ng tròn đơn v S1 th a mãn đi u ki n  g (0, 1) = g (1, 0) = 0  g (−x) = −g (x)  2 Bài t p chương 1 Xét hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x  xg , x=0  x f (x) =  0, x=0 v i m i x ∈ R2 . (a) Ch ng minh v i x ∈ R2 c đ nh cho trư c, hàm s h : R −→ R, h(t) = f (t, x) kh vi trên R. (b) Ch ng minh f không kh vi t i (0, 0) tr khi hàm g = 0. Bài t p 1.7. Cho hàm f : R2 −→ R kh vi liên t c. Ch ng minh r ng f không th là đơn ánh. Bài t p 1.8. Cho f : Rn −→ Rm , g : Rm −→ R kh vi l p C ∞ . Ch ng minh r ng (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . Bài t p 1.9. Cho L : Rn −→ Rm là m t ánh x tuy n tính, ch ng minh r ng L liên t c, kh vi t i m i đi m x ∈ Rn . Bài t p 1.10. Ch ng minh r ng phép t nh tuy n và phép v t trên Rn là các ánh x liên t c. Bài t p 1.11. Cho U là m t t p m trong Rn và f : U −→ Rm , m ≤ n là m t ánh x thu c l p C 1 . Gi s r ng f là m t đơn ánh và f −1 : A −→ U , v i A = f (U ) cũng thu c l p C 1 . Ch ng minh r ng m không th nh hơn n. (Đây là m t đ nh lý y u c a Brouwer: Không t n t i 1 đ ng t m t t p m U ⊂ Rn vào Rm v i m < n). Bài t p 1.12. Cho f : Rn −→ Rn là m t ánh x kh vi, chính qui trên Rn , ch ng minh r ng f là m t ánh x m . Bài t p 1.13. Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ m t ánh x trơn F là m t vi phôi t W vào F (W ) là F là m t đơn ánh và DF không có đi m kì d trên W . Bài t p 1.14. Ch ng minh r ng không t n t i 1 vi phôi t m t t p m c a Rn vào m t t p m c a Rm n u m < n. 3 Lý thuy t đư ng BÀI T P CHƯƠNG 2 Bài t p 2.1. Hãy xác đ nh v t c a các đư ng tham s sau: (a) (Đư ng hình s 8), xác đ nh b i c(t) = (sin t, sin 2t) (b) (Đư ng cubic), xác đ nh b i c(t) = (t, t2 , t3 ) Bài t p 2.2. Tìm m t đư ng tham s α(t) mà v t là đư ng tròn x2 + y 2 = 1 sao cho α(t) ch y quanh đư ng tròn cùng chi u kim đ ng h và α(0) = (1, 0). Bài t p 2.3. Cho đư ng tròn tham s α(t) không đi qua g c. Gi s α(t0 ) là đi m trên v t c a g n v i g c t a đ nh t. Hãy ch ng minh r ng vector α(t0 ) tr c giao v i vector α (t0 ). Bài t p 2.4. Gi s α(t) là đư ng tham s mà α (t) = 0 v i m i t. Chúng ta có th k t lu n gì v α(t)? Bài t p 2.5. Cho đư ng tham s α : I −→ R3 và → là vector c đ nh. Gi s −v → v i m i t ∈ I và α(0) cũng tr c giao v i →. Ch ng − − r ng α (t0 ) tr c giao v i v v minh r ng v i m i t ∈ I , α(t ) tr c giao v i →. − ...