Sử dụng số phức giải câu 8 trong đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán năm 2015 theo 5 cách

Số phức là một công cụ tốt để giải các bài toán hình học phẳng. Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ của số phức. Từ đó, bài viết đưa ra 5 phương pháp để giải câu hỏi về hình học giải tích trên mặt phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm học 2015 theo ngôn ngữ số phức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng số phức giải câu 8 trong đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán năm 2015 theo 5 cáchJournal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8Part D: Natural Sciences, Technology and EnvironmentSỬ DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÂU 8 TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNGQUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 THEO 5 CÁCHTrần Lê NamTrường Đại học Đồng ThápThông tin chung:Ngày nhận bài: 15/03/2016Ngày nhận kết quả bình duyệt:22/04/2016Ngày chấp nhận đăng: 12/2016Title:A use of complex numbers tosolve the eighth problem by fivemethods in the 2015 NationalHigh School MathematicsExamination in VietnamKeywords:Complex number, planegeometry, complex geometryTừ khóa:Số phức, hình học phẳng,hình học phứcABSTRACTComplex numbers are efective tools in solving plane geometry problems. In thispaper, we present some basic definitions and properties of plane geometry viacomplex numbers. Then, the paper proposes five methods to solve the planeanalytic geometry problem in the 2015 National High School MathematicsExamination in Vietnam through complex numbers.TÓM TẮTSố phức là một công cụ tốt để giải các bài toán hình học phẳng. Trong bài báo,chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữcủa số phức. Từ đó, bài viết đưa ra 5 phương pháp để giải câu hỏi về hình họcgiải tích trên mặt phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toánnăm học 2015 theo ngôn ngữ số phức.Ngoài các kết quả về véc-tơ và tích vô hướng, sốphức còn có thêm phần tử ảo i. Do đó, nếu chúngta tận dụng sức mạnh của nó thì việc giải các bàitoán hình học giải tích được ngắn gọn, tự nhiên vàđẹp.1. MỞ ĐẦUCăn bậc 2 của số âm xuất hiện trong việc tính toánthể tích kim tự tháp của nhà toán học Hy Lạp,Alexandria ở thế kỷ thứ I sau công nguyên. Tuynhiên, đến thế kỷ thứ XVI, khái niệm số phức mớichính thức xuất hiện trong công trình của G.Cardano về việc tìm nghiệm đại số của phương trìnhlập phương (Katz, 2004). Sau đó, số phức được sửdụng rất hiệu quả trong Vật lý và Toán học. Nó làmột công cụ tuyệt vời trong việc giải một số dạngtoán về đại số, giải tích, hình học và tổ hợp (NguyễnHữu Điển, 2000; Li, 2004; Nguyễn Văn Mậu, 2009;Đoàn Quỳnh, 1997; Võ Thanh Vân, 2009).Câu hình học giải tích phẳng trong đề thi Trunghọc Phổ thông Quốc gia môn Toán năm 2015 làmột câu hỏi hay và khó (Bộ Giáo Dục và ĐàoTạo, 2015). Theo thống kê của chúng tôi thì hơn85% thí sinh ở cụm thi Đại học Đồng Tháp làkhông làm được câu này. Bài viết sẽ giới thiệu sựthể hiện của một số khái niệm trong hình học giảitích phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, chúngtôi đưa ra 5 cách giải bài toán theo ngôn ngữ này.Trong những năm gần đây, việc sử dụng số phứcđể giải các bài toán hình học trong đề thi IMO tỏra khá hữu hiệu (Li, 2004). Khai thác thế mạnhđó, chúng tôi nghĩ đến việc ứng dụng số phứctrong giải các bài toán hình học giải tích phẳng.2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊChúng ta đã biết rằng nhờ song ánhf :  2  , a, b   a  bi nên mỗi điểm1Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8Part D: Natural Sciences, Technology and EnvironmentM a, b  trên mặt phẳng Oxy được đồng nhấtvéc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phứctương ứng. Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ đượctính theo công thức:với một số phức z M  a  bi. Theo cách đồng1a .b  Re za .zb  za .zb  za .zb .2Đặc biệt, độ dài của a được tính theo công thứca  za .za .nhất đó thì véc-tơ OM có tọa độ là z M (Hình 1).Nói cách khác, véc-tơ a a, b  cũng được đồngnhất với số phức za  a  bi. Khi đó, các phépcộng, trừ hai véc-tơ, nhân một số thực với mộtHình 1. Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phứcTiếp theo, chúng ta thể hiện các khái niệm tâm tỉcự của 2 điểm, phương trình chính tắc của đườngtròn, đường thẳng theo ngôn ngữ của số phức.2.2 Phương trình chính tắc của đường trònDo khoảng cách giữa 2 điểm A và B, ký hiệud A, B , bằng AB nên chúng ta đượcTrong mục này, chúng ta cho A, B là 2 điểmphân biệt trên mặt phẳng.d A, B  2.1 Tâm tỉ cự của 2 điểmĐiểm M là tâm tỉ cự của 2 điểm A, B ứng vớia, b  , a  b  0, aMA  bMB  0, khi và chỉ khi:cặp hệ sốzM az A  bz Ba bzM 2nghĩa làz  z z  z   R .2AA2.3 Phương trình của đường thẳng  là đường thẳng qua điểm A nhậna  0 làm véc-tơ chỉ phương. Điểm M nằm trênGiả sử dđườngthẳngd khivàchỉkhiAM  ta , t  . Điều này tương đương với.đẳng thức:za z A z B  z A .bán kính R  0 có phương trình dạng:.zM  zABTừ đó, chúng ta suy ra được đường tròn tâm A,Đặc biệt, M là trung điểm của đoạn thẳng ABkhi và chỉ khizA  zBz t hayzM  zAzaDo đó, đường thẳng d có phương trình dạng:2 z  z A  M. za Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8d  :z  zAzaz  zAzaPart D: Natural Sciences, Technology and Environmentz  10d ...