SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tham khảo tài liệu sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCSỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên: Thân Văn Dự Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càngphát triển . Đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất.Điểm ấn tượng của bất đẳng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toánkhó, thậm chí là rất khó luôn có thể giải được bẳng những kiến thức cơ sở và việchoàn thành được những chứng minh như vậy là một niềm vui thực sự. Trong bàiviết nay giới thiệu với các ban một phương pháp để chứng minh bất đ ẳng thức kháhiệu quả đó là dùng tam thức bậc hai.A. Kiên thức cơ bản1. Định nghĩa tam thức bậc hai Tam thức bấc hai đối với x là biểu thức có dạng f ( x) ax2 bx c , trong đó a, b, clà những hằng số và a 02. Định lý dâu của tam thức bậc hai Cho f ( x ) ax 2 bx c ( a 0 ),  b2 4acNếu  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với x R bNếu  = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với x R 2aNếu  > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x x1 hoặc x x2 , trái dấu với hệ số a khi (x)x1 x x2 trong đó x1 , x2 ( x1 x2 ) là hai nghiệm của f .3. Định lý đảo định lý dấu của tam thức bậc hai. Cho f ( x ) ax 2 bx c ( a 0 )Nếu tồn tại sao cho af ( ) 0 thì phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệmx1 , x2 sao cho x1 x2Hệ quả Nếu tồn tại , 0 thì phương trình f ( x ) 0 có nghiệm trong R sao cho f ( ) . f ( )khoảng ;B. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng mi nh bất đẳng thức1. Sử dụng định lý thuận của tam tức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức1.1 Bài toán 1 Cho bất đẳng thức f ( x ) 0 (1)Trong đó f ( x ) là tam thức bậc hai đối với x. Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) đúng vớimọi xPhương pháp giải: Theo đinh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai do f ( x ) là tam thức bậc hai ta chỉ a f ( x) 0cần chứng minh (*)  f ( x) 0Chú ý: Nếu trong bất đẳng thức (1) chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu đẳng thức ) thìtrong điều kiện (*) đối với  f cũng chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu “=” ). ( x)Ví dụ Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì bất đẳng thức sauđúng với mọi x.b 2 x 2 (b 2 c 2 a 2 ) x c 2 0 (1)Giải: Đặt VT (1) f ( x ) Ta thấy f x là một tam thức bậc hai đối với x có hệ số a là b 2 > 0do đó để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh  0, x . Thật vậy (b2 c 2 a 2 )2 4.b 2 .c 2 2 4.b 2 .c 2 2.b.c.cosA 4.b2 .c 2 .Sin2 A 0, xVậy b2 x 2 (b2 c 2 a 2 ) x c 2 0, x1.2 Bài toán 2 Cho bất đẳng thức f ( x , y ) 0 (2) Trong đó f ( x , y ) là tam thức bậc hai đố i với mộttrong hai biến số x và y. Chứng minh (2) đúng với mọi x và mọi y.Phương pháp giải: Ta giả sử hàm f ( x , y ) là tam thức bậc hai đối với x gọi tam thức bậc hai đó là P ( x )Ta cần chứng minh P( x ) 0 với mọi x và mọi y. Để chứng minh P( x ) 0 với mọi x theo aP( x ) 0bài toán 1 ta cần chứng minh (*) P ( x ) 0Suy ra để chứng minh P ( x ) 0 x, y ta cần chứng minh hệ (*) đúng với mọi y.Ví dụ Cho b > c > d. Hãy chứng minh bất đẳng thức: ( a + b + c )2 > 8( ac + bd ) (1) đúng với mọi a Giải: 2(1) ( a b c) 8(ac bd ) 0 a 2 2(b d 3c)a (b c d )2 8bd 0Đặt VT(2) = f ( a )f ( a ) là một tam thức bậc hai ẩn a có hệ số a f ( x ) =1. Do vậy để chứng minh (1) ta chỉ cẩnchứng minh , f (a) 0 . Thật vậy , f ( a ) (b d 3c)2 (b c d )2 8bd 8c(b c d ) 8bd 8(b c)(c d ) , f (a) 0Dob d c b c 0, c d 0Suy ra đpcm.2. Dùng định lý đảo của định lý dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳngthức1.1 Bài toán 1 Chứng minh rằng B2 – 4AC 0 ( hoặc B2 – AC 0 )Phương pháp giải: Để chứng minh B2 – 4AC 0 ta đi chứng minh PT Ax2 + Bx + c =0 ( hoặc PTAx2 – Bx +C = 0 ) có nghiệm( Chứng minh B2 – AC 0 ta chứng minh PT Ax2 + 2Bx + c =0 hoặc PT Ax2 - 2Bx + c=0 có nghiệm ).Ví dụ Cho a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 1 Hãy chứng minh rằng: ( ac + bd – 1 )2 ( a2 + b2 – 1 )( c2 + d2 – 1 ) (*) Giải: Khi a2 + b2 = 1 (*) hiển nhiên đúngKhi a2 + b2 < 1 a2 + b2 – 1 < 0Đặt ...