Sử dụng tính chất của số Ckn để giải một số bài toán về nhị thức Newton

Bài viết "Sử dụng tính chất của số Ckn để giải một số bài toán về nhị thức Newton" đưa ra một hệ thống bài tập và câu hỏi tương ứng mang tính gợi mở để gợi ý, định hướng cho học sinh, để học sinh hình thành kiến thức phương pháp một cách tự nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng tính chất của số Ckn để giải một số bài toán về nhị thức Newton Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ Cnk ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC N EWTON Nguyễn Sĩ Tam Trưởng THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Trong quá trình dạy - học môn Toán, người thầy phải biết cách giúp học sinh tự khám phá, tìm ra nét đẹp của Toán học, từ đó giúp học sinh ngày càng yêu thích môn Toán. Muốn vậy thì người thầy phải biết tạo ra ”thách thức” cho học sinh để tạo sự hào hứng, thú vị cho học sinh, nhưng điều quan trọng không kém là người thầy phải biết giúp học sinh vượt qua ”thách thức” bằng hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi ý, đây là một ”nghệ thuật” trong dạy học, theo cá nhân tôi đây là một tiêu chí thể hiện kinh nghiệm của người thầy mà không phải ai cũng làm tốt. Qua tìm tòi trên mạng tôi rất tâm đắc với bài viết ”Hướng dẫn học sinh lớp 11 áp dụng tính chất số Cnk vào các bài toán Nhị thức Newton” của tác giả Nguyễn Thị Thùy Dương, tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Thái Học, Vĩnh Phúc. Tuy nhiên tôi đặt ra một vấn đề: Làm thế nào để hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất vào giải bài tập một cách tự nhiên, không gò ép, học vẹt đây? Để giải quyết vấn đề tôi nghĩ cần đưa ra một hệ thống bài tập và câu hỏi tương ứng mang tính gợi mở để gợi ý, định hướng cho học sinh, để học sinh hình thành kiến thức phương pháp một cách tự nhiên. Mặc dù kinh nghiệm giảng dạy còn non nớt nhưng tôi cũng mạnh dạn trình bày chuyên đề Cách đặt câu hỏi hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng tính chất số Cnk để giải một số bài toán Nhị thức Newton mong được các thầy, cô giáo góp ý cho tôi được hoàn thiện hơn. Mục tiêu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 vận dụng tính chất kCnk = nCnk− 1 −1 (*) vào giải quyết các bài toán về tổ hợp, nhị thức Newton. 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Công thức khai triển nhị thức Newton n ( a + b)n = ∑ Cnk an−k bk k =0 = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + · · · + Cnk an−k bk + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn . (1) 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/20191.2 Một số trường hợp đặc biệtTính chất 1.1. Cho a = 1, b = 1 ta có Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 2n.Tính chất 1.2. Cho a = 1, b = −1 ta có Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + · · · + (−1)n Cnn = 0.Tính chất 1.3. Cho a = 1, b = x ta có (1 + x )n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + . . . + Cnn x n.Tính chất 1.4. Cho a = 1, b = - x ta có (1 − x )n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x2 − Cn3 x3 + . . . + (−1)n Cnn x n1.3 Các ví dụ hình thành phương pháp giảiVí dụ 1.1. Rút gọn tổng sau S = Cn1 + 2Cn2 + 3C3 + · · · + nCnn . Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Trong tổng trên nếu các hệ số đều bằng 1 thì ta cóthể làm ”ngon lành”! tiếp theo Giáo viên đặt ra các câu hỏi: Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát trong tổng trên có dạng nào? Câu hỏi 2: Nếu không có hệ số k trong các số hạng thì có tính được tổng trên haykhông? Câu hỏi 3: Có những cách nào làm ”biến mất” hệ số k trong số hạng kCnk ?Lời giải. Áp dụng tính chất kCnk = nCnk− 1 −1 với 1 ≤ k ≤ n. Khi đó −1 n −1 S = n(Cn0 −1 + Cn1 −1 + Cn2 −1 + · · · + Cnn− 1 ) = n (1 + 1) = n.2n−1 Giáo viên chốt vấn đề: Như vậy chúng ta đã dùng 1 tính chất của tổ hợp để ”cânbằng” các hệ số, làm cho các hệ số của các số hạng của tổng đều bằng nhau. Từ đó có thểlàm ”biến mất” hệ số k.Ví dụ 1.2. Tìm n > 4 biết 2.Cn0 + 5.Cn1 + 8.Cn2 + · · · + (3n + 2).Cnn = 1600. Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái. Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào? Câu hỏi 2: Với số hạng dạng (3k + 2) Cnk có thể phân tích đưa về tổng các số hạngdạng kCnk được không? 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Câu hỏi 3: Từ đó hãy nêu các tích tổng VT?Lời giải. Số hạng TQ của tổng VT là (3k + 2) Cnk = 3k.Cnk + 2.Cnk , (0 ≤ k ≤ n) Như vậy VT sẽ được tách thành 2 tổng đơn giản hơn: VT = 3 Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + · · · + n.Cnn + 2(Cn0 + Cn1 + Cn2 + · ...