Sự hội tụ theo nghĩa Wijsman và đặt chỉnh Tykhonov của bài toán cân bằng theo dãy

Bài viết tập trung nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự hội tụcủa dãy các bài toán cân bằng cũng như thiết lập điều kiện đặt chỉnh Tykhonov theo dãy của lớp bài toán đang xét. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sự hội tụ theo nghĩa Wijsman và đặt chỉnh Tykhonov của bài toán cân bằng theo dãyTạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n ThơTập 49, Phần A (2017): 79-83DOI:10.22144/jvn.2017.011SỰ HỘI TỤ THEO NGHĨA WIJSMAN VÀ ĐẶT CHỈNH TYKHONOVCỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG THEO DÃYLâm Quốc Anh, Phạm Thị Vui và Trương Văn TríKhoa Sư phạm, Trường Đại học Cần ThơThông tin chung:Ngày nhận: 22/11/2016Ngày chấp nhận: 28/04/2017Title:On the Wijsman convergence andTykhonov well-posedness ofequilibrium problemsTừ khóa:Bài toán cân bằng, sự đặt chỉnhTykhonov, sự hội tụ của dãy tập, sự hộitụ Wijsman, tính nửa liên tục trênKeywords:Convergence of sets, equilibriumproblem, Tykhonov well-posedness,upper semicontinuity, WijsmanconvergenceABSTRACTIn this paper, a sequence of equilibrium problems in metricspace is considered. Sufficient conditions for the sequence ofapproximating problems converging in the sense of Wijsman tothe original problem are studied. In addition, concepts ofsequentially (generalized) Tykhonov well-posedness underperturbations by a sequence of approximating problems areproposed, then sufficient conditions for such properties areestablished.TÓM TẮTTrong bài báo này, dãy các bài toán cân bằng trong không gianmetric được xem xét. Các điều kiện đủ cho sự hội tụ theo nghĩaWijsman của dãy bài toán xấp xỉ về bài toán gốc được quan tâmnghiên cứu. Hơn nữa, các khái niệm về đặt chỉnh Tykhonov (mởrộng) theo dãy dưới dạng nhiễu bởi dãy các bài toán xấp xỉ đượcđề xuất, tiếp theo đó là việc thiết lập điều kiện đủ cho các dạngđặt chỉnh này.Trích dẫn: Lâm Quốc Anh, Phạm Thị Vui và Trương Văn Trí, 2017. Sự hội tụ theo nghĩa Wijsman và đặtchỉnh Tykhonov của bài toán cân bằng theo dãy. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ.49a: 79-83.2014) và các thuật toán tìm nghiệm (Iusem andSosa, 2010, Quoc et al., 2012; Bigi et al., 2013;Anh et al., 2015; Muu and Quy, 2015) cùng các tàiliệu tham khảo trong đó.1 MỞ ĐẦUBài toán cân bằng lần đầu tiên được giới thiệubởi H. Nikaido, K. Isoda vào năm 1955 nhằm mụcđích tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trongtrò chơi không hợp tác. Bài toán này là dạng tổngquát của nhiều bài toán quan trọng trong tối ưuhóa: bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bàitoán cân bằng Nash, bài toán điểm bất động, bàitoán bất đẳng thức biến phân,… Vì thế bài toán nàyđược đông đảo các nhà toán học quan tâm nghiêncứu. Một số vấn đề quan trọng về bài toán cânbằng đã và đang được quan tâm nghiên cứu baogồm sự tồn tại nghiệm (Ansari et al., 2001; Fu andWan, 2002), tính ổn định nghiệm (Bianchi andPini, 2003; Anh and Khanh, 2007, 2010), sự đặtchỉnh (Kimura et al., 2008; Anh et al., 2009, 2012,Một trong những chủ đề quan trọng của tối ưuhóa, có vai trò làm cầu nối giữa tính ổn định vàphương pháp giải nghiệm là sự đặt chỉnh nghiệmcủa các bài toán. Một trong những dạng đặt chỉnhquan trọng được mọi người quan tâm nghiên cứu làsự đặt chỉnh Tykhonov (Tykhonov, 1966) cho hầuhết các lớp bài toán trong tối ưu hóa bao gồm bàitoán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bàitoán cân bằng.Bên cạnh đó, sự hội tụ cũng chiếm vị trí trọngtâm khi nghiên cứu tính chất nghiệm của các bàitoán trong tối ưu, sự hội tụ nghiệm có liên quan79Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n ThơTập 49, Phần A (2017): 79-83mật thiết đến tính ổn định và đặt chỉnh nghiệm củacác bài toán và là công cụ chính để nghiên cứu tínhxấp xỉ nghiệm trong tối ưu hóa. Trong thời giangần đây, có nhiều công trình nghiên cứu về sự hộitụ nghiệm theo nghĩa Painlevé-Kuratowski và theonghĩa Mosco cho các bài toán liên quan đến tối ưunhư: bài toán tối ưu (Peng and Yang, 2014), bàitoán bất đẳng thức biến phân (Fu et al, 2008), bàitoán cân bằng (Khan et al, 2014). Bên cạnh cácdạng hội tụ trên, sự hội tụ theo nghĩa Wijsmancũng có ý nghĩa rất quan trọng trong thực tế và cónhiều mối quan hệ với các dạng hội tụ khác như:hội tụ Painlevé-Kuratowski, hội tụ Mosco, hội tụHausdorff,… (Wijsman, 1964 and 1966). Tuynhiên, theo như chúng tôi được biết cho đến naychưa có bài báo nào nghiên cứu sự hội tụ Wijsmancho bài toán cân bằng.Mệnh đề 2.1 (Aubin and Frankowska, 1990)Cho , là các không gian metric, ánh xạ đa trị: → 2 . Khi đó,(i)là ánh xạ nửa liên tục dưới tạinếu vàchỉ nếu với mọi dãy→và mọi điểm ∈tồn tại một dãyvới ∈sao cho→ .là compact thì là ánh xạ nửa(ii) Nếuliên tục trên tạikhi và chỉ khi với mọi dãybất kỳ hội tụ về , mỗi dãythỏa ∈có một dãy con hội tụ về một điểm nào đó trong. Hơn nữa, nếulà tập đơn phầntử thì dãynhư trên phải hội tụ về .Phần tiếp theo sẽ trình bày các khái niệm liênquan đến khoảng cách và hội tụ.Định nghĩa 2.2 Cho là không gian metric vàlà tập con của . Khi đó khoảng cách từ điểm∈ đến tập ký hiệu là, , được xác địnhnhư sau:Từ những quan sát trên, trong bài báo nàychúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự hội tụcủa dãy các bài toán cân bằng cũng như thiết lậpđiều kiện đặt chỉnh Tykhonov t ...