Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn

Bài viết tập trung nghiên cứu về bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn. Bài viết trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 DOI:10.22144/jvn.2016.608 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CẤP HAI TRONG HÌNH TRỤ ĐÁY KHÔNG TRƠN Phùng Kim Chức Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Thông tin chung: Ngày nhận: 06/06/2016 Ngày chấp nhận: 22/12/2016 Title: The uniqueness and existence of solution of this seccond innitial boundary problem for second-order Schrödinger equation in cylinders with nonsmooth bases Từ khóa: Bài toán biên ban đầu thứ hai, phương trình Schrödinger, nghiệm suy rộng, hình trụ đáy không trơn Keywords: Second initial boundary value problem, Schrödinger equation, generalized solution, cylinders with nonsmooth bases ABSTRACT Cauchy-Dirichlet problem for the general Schrödinger systems in domains containing conical points has been investigated by Nguyen Manh Hung (1998). In this paper, we study the second initial boundary value problem for second-order Schrödinger equations in cylinders with nonsmooth bases QT , 0  T   . The purpose of this paper is to study the unique solvability of generalized solution of the problem. TÓM TẮT Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với hệ phương trình Schrödinger tổng quát trong miền chứa điểm nón đã được tác giả Nguyen Manh Hung (1998) nghiên cứu. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn QT , 0  T   . Bài báo trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng. Trích dẫn: Phùng Kim Chức, 2016. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 47a: 114-119. phương trình Schrödinger tổng quát. 1 MỞ ĐẦU Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong miền trụ với đáy không trơn. Các hệ số a pq ( x, t ) ở đây là những hàm phụ thuộc vào cả Bài toán giá trị biên đối với phương trình Schrödinger trong hình trụ hữu hạn biên trơn đã được xét trong công trình của Lions và Magenes (1972). Bài báo này đã công bố các kết quả đối với phương trình Schrödinger với các hệ số a pq là hai biến x và t . những hàm không phụ thuộc vào biến t . Cho  là một miền bị chặn trong  n , n 2 với biên của nó là  thỏa mãn điệu kiện  \{O} là mặt khả vi vô hạn và  trùng với Bài toán giá trị biên đối với hệ phương trình Schrödinger trong hình trụ vô hạn biên không trơn đã được xét trong công trình của Nguyễn Mạnh Hùng và Nguyễn Thị Kim Sơn (2008). Trong công trình này tác giả đã giải quyết bài toán với hệ x | x| nón K {x: G} trong lân cận của gốc tọa độ 114 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 O , ở đó G là một miền trơn trong mặt cầu đơn vị S n 1 của  n . 1 u H l (  )  (   | D p u|2 dx ) 2  .  | p|l Với mỗi số thực dương T , đặt T (0,T ) , ST (0,T ) ,  (0,  ) ,  (0,  ) H l ,0 ( e t , T )(  ) là không gian gồm các hàm u ( x ,t ), ( x ,t )T D p u ,| p| l với chuẩn .Với mỗi đa chỉ số   (1 ,..., n ) n , ta đặt | |1 ... n và kí hiệu D  | | 1 n x1 ...xn . có đạo hàm suy rộng u H l ,0 ( e t ,  )  T 1 (   | D p u|2 e2 t dxdt ) 2  T | p|l Với mỗi hàm véc tơ giá trị phức u  (u1 ,...,u s ) xác định trong  , ta kí hiệu Du  ( D ,..., D ) , u1 us 1 s  j u  j u1  j us ( ,..., ) , u  (  |u j |2 ) 2 . ut j  t j t j t j j 1 biệt, chúng 0,0  t L2 ( , T )  H ( e , T ). Giả sử l là một số nguyên không âm, trong bài báo này chúng tôi sử dụng các không gian hàm sau. hàm u ( x ,t ), ( x ,t )T Đặc ta đặt H l ,1 ( e t , T )(  ) là không gian gồm các có đạo hàm suy rộng D p u ,| p| l với chuẩn C l (  ) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp l  0 trên  . u H l ,1 ( e t , )  T C (  )  C 0 (  ) là không gian các hàm liên tục trên  . 1 (   (| D p u|2 |ut |2 ) e2 t dxdt ) 2 . T | p|l L (0,T ; L2 ()) là không gian gồm các hàm giá trị phức đo được u:(0,T )  L2 (  ),t  u (.,t ) thỏa mãn  C  ( )   C l ( ) là không gian các hàm l 0 khả vi vô hạn trên  . C0 () là không gian các hàm khả vi vô hạn ||u ||L (0,T ; L2 (  ))  ess sup ||u (.,t )||L2 (  ) . 0  t T có giá compact trong  . L2 (  ) là không gian các hàm bình phương khả tích trên  với chuẩn 1 ||u||L2 (  )  (  |u ( x )|2 dx ) 2 .  Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu toán tử vi phân sử dụng trong suốt bài báo L2 ( , T ) là không gian các hàm bình với chuẩn phương khả tích trên T 1 2 2 t   t  ||u||L ( e , )  (  |u ( x ,t )| e dxdt ) 2 . 2 T T ở đó ...