Tài liệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc PH¦¥NG PH¸P 1. Sö DôNG BÊT §¼NG THøC C¤SII. C¸c quy t¾c cÇn chó ý khi sö dông bÊt ®¼ng thøc c«si - Quy t¾c song hµnh : hÇu hÕt c¸c B§T ®Òu cã tÝnh ®èi xøng do ®ãviÖc sö dông c¸c chøng minh mét c¸ch song hµnh, tuÇn tù sÏ gióp ta h×nhdung ra ®îc kÕt qu¶ nhanh chãng vµ ®Þnh híng c¸ch gi¶ nhanh h¬n. - Quy t¾c dÊu b»ng : dÊu b»ng “=” trong B§T lµ rÊt quan träng. Nãgióp ta kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña chøng minh. Nã ®Þnh h íng cho ta ph-¬ng ph¸p gi¶i, dùa vµo ®iÓm r¬i cña B§T. - Quy t¾c vÒ tÝnh ®ång thêi cña dÊu b»ng : kh«ng chØ häc sinh mµngay c¶ mét sè gi¸o viªn khi míi nghiªn cøu vµ chøng minh B§T còng th ¬ngrÊt hay m¾c sai lÇm nµy. ¸p dông liªn tiÕp hoÆc song hµnh c¸c B§T nh ngkh«ng chó ý ®Õn ®iÓm r¬i cña dÊu b»ng. Mét nguyªn t¾c khi ¸p dông songhµnh c¸c B§T lµ ®iÓm r¬i ph¶i ®îc ®ång thêi x¶y ra, nghÜa lµ c¸c dÊu “=”ph¶i ®îc cïng ®îc tháa m·n víi cïng mét ®iÒu kiÖn cña biÕn. - Quy t¾c biªn: C¬ së cña quy t¾c biªn nµy lµ c¸c bµi to¸n quy ho¹chtuyÕn tÝnh, c¸c bµi to¸n tèi u, c¸c bµi to¸n cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn rµng buéc, gi¸trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña hµm nhiÒu biÕn trªn mét miÒn ®ãng. Ta biÕt r»ngc¸c gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt th êng x¶y ra ë c¸c vÞ trÝ biªn vµ c¸c ®Ønh n»mtrªn biªn. - Quy t¾c ®èi xøng: c¸c B§T thêng cã tÝnh ®èi xøng vËy th× vai trßcña c¸c biÕn trong B§T lµ nh nhau do ®ã dÊu “=” thêng x¶y ra t¹i vÞ trÝ c¸cbiÕn ®ã b»ng nhau. NÕu bµi to¸n cã g¾n hÖ ®iÒu kiÖn ®èi xøng th× ta cãthÓ chØ ra dÊu “=” x¶y ra khi c¸c biÕn b»ng nhau vµ mang mét gi¸ trÞ cô thÓ. ChiÒu cña B§T còng sÏ gióp ta ®Þnh h íng ®îc c¸ch chøng minh: ®¸nhgi¸ tõ TBC sang TBN vµ ngîc l¹iII. BÊt ®¼ng thøc C«si (CAUCHY) D¹ng tæng qu¸t (n sè): ∀x1, x2, x3 ……..xn kh«ng ©m ta cã: x1 + x2 + ......xn n ≥ x1 x2 ...........xn D¹ng 1: n x1 + x2 + ......xn ≥ n n x1 x2 ...........xn D¹ng 2:  x1 + x2 + ......xn  n ≥ x1 x2 ...........xn D¹ng 3:  ÷ n   2 DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi: x1 = x2 = ............ = xn HÖ qu¶ 1 n S Max ( P = x1x2 ............xn ) x1 + x2 + ........ + xn = S = const th×: = ÷ NÕu: n S khi x1 = x2 = ............ = xn = n HÖ qu¶ 2 NÕu: x1x2 .................xn = P = const th×: Min ( S = x1 + x2......... + x2 ) = n P n khi x1 = x2 = ............ = xn = n PIII. D¹ng cô thÓ ( 2 sè, 3 sè )n = 2: ∀ x, y # 0 khi ®ã: n = 3: ∀ x, y, z # 0 khi ®ã: x+ y x+ y+ z 3 ≥ xy ≥ xyz2.1 2 3 x + y ≥ 2 xy x + y + z ≥ 3 3 xyz2.2 2 3  x+ y  x+ y+ z ÷ ≥ xy ÷ ≥ xyz2.3   2 3   2 3 ( x + y ) ≥ 4 xy ( x + y + z ) ≥ 27 xyz2.4 11 4 111 9 +≥ ++≥2.5 x y x+ y x y z x+ y+z 1 4 1 4 ≥ ≥2.6 xy ( x ...