Tài liệu Hàm số liên tục

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Hàm số liên tục" dưới đây để nắm bắt được định nghĩa, một số định lý cơ bản của hàm số liên tục, các dạng bài tập hàm số liên tục thường gặp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu Hàm số liên tục HÀM S LIÊN T CA/ TÓM T T LÍ THUY T:I. nh ngh a hàm s liên t c: 1) nh ngh a 1: Gi s! hàm s f ( x ) xác nh trên kho ng ( a; b ) và x0 ∈ ( a; b ) . Hàm s f c g i là liên t c t i i#m x0 n u lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm s không liên t c t i i#m x0 c g i là gián o n t i x0. 2) nh ngh a 2: Hàm s f liên t c trên kho ng ( a; b ) n u nó liên t c t i m i i#m thu c kho ng ó. Hàm s f liên t c trên o n [ a; b ] n u nó liên t c trên kho ng ( a; b ) và lim f ( x ) = f ( a ) , lim f ( x ) = f ( b ) . x →a + x →b −II. M t s nh lí c b n v hàm s liên t c: 1) nh lí 1: a) Hàm a th$c liên t c trên t p R. b) Hàm phân th$c h%u t& và các hàm s l ng giác liên t c trên tng kho ng cu t p xác nh c a chúng. 2) nh lí 2: Gi s! y = f ( x ) và y = g ( x ) là hai hàm s liên t c t i i#m x0. Khi ó: a) Các hàm s y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) .g ( x ) liên t c t i i#m x0. f ( x) b) Hàm s y = liên t c t i i#m x0 n u g ( x0 ) ≠ 0. g ( x) 3) nh lí 3: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì t n t i ít nh t m t i#m c ∈ ( a; b ) sao cho f ( c ) = 0 . Nói cách khác: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( a; b ) . 2 http://kinhhoa.violet.vn B/ CÁC D NG BÀI T P TH NG G P: D ng1: Xét tính liên t c c a hàm s t i i m x0. Ph ng pháp gi i: • Tính f ( x0 ) . • Tìm lim f ( x ) và áp d ng nh ngh a 1). x → x0 Ví d 1: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2. x3 − 8 khi x ≠ 2 f ( x) = x − x − 2 2 10 khi x = 2 3 L i gi i: 10Ta có f ( 2 ) = 3 lim f ( x ) = lim x3 − 8 = lim ( ( x − 2) x2 + x + 4 = lim ) x 2 + x + 4 10 = = f ( 2) . x→2 x→2 x 2 − x − 2 x →2 ( x + 1)( x − 2 ) x→2 x +1 3V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2. --------------- Ví d 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 1. x −1 khi x ≠ 1 f ( x) = x −1 1 khi x = 1 L i gi i:Ta có f (1) = 1 x −1 x −1 1 1 lim f ( x ) = lim = lim = lim = ≠ f (1) . x →1 x →1 x −1 x →1 ( )( x −1 ) x +1 x →1 x +1 2V y hàm s f không liên t c t i i#m x0 = 1. --------------- Ví d 3: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2. x2 − x − 2 khi x > 2 f ( x) = x−2 5− x khi x ≤ 2 L i gi i:Ta có f ( 2 ) = 3 lim+ f ( x ) = lim+ x2 − x − 2 ( x − 2 )( x + 1) = lim x + 1 = 3 . = lim+ ( ) x →2 x→2 x−2 x →2 ( x − 2) x → 2+ 3 http://kinhhoa.violet.vn lim f ( x ) = lim− ( 5 − x ) = 3 . x → 2− x→ 2Suy ra lim f ( x ) = f ( 2 ) x→2V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2. --------------- Bài t p t gi i: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 x2 − 2 x − 3 khi x ≠ 3 f ( x) = x2 − 9a) 1 (x0 = 3). khi x = 3 4 x+3 −2 khi x ≠ 1 f ( x) = x −1b) 1 (x0 = 1). khi x = 1 4 x −5 khi x > 5 f ( x) = 2x −1 − 3c) (x0 = 5). ( x − 5) 2 + 3 khi x ≤ 5 -------------------------------- D ng2: nh f ( x0 ) hàm s f liên t c t i i m x0 . Ph ng pháp gi i Tìm lim f ( x ) và l y f ( x0 ) = lim f ( x ) . x → x0 x ...