TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 11 - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn .*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu n u có thể nhỏhơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.Kí hiệu:limun= 0 hay un ®0 khi n ® + ¥*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n ®+ ¥ nếu lim(un-a)=0Kí hiệu:limun=a hay un® a khi n ®+ ¥
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 11 - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐCHƯƠNG IV.GIỚI HẠNBÀI 1.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐA/TÓM TẮT GIÁO KHOA 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn. *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun= 0 hay un → 0 khi n → + ∞ *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n → + ∞ nếu lim(un-a)=0 Kí hiệu:limun=a hay un → a khi n → + ∞ 2. Định nghĩa giới hạn vô cực. *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + ∞ khi n → + ∞,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun=+ ∞ hay un → + ∞ khi n → + ∞. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - ∞ khi n → + ∞,nếu lim(-un)=+ ∞ Kí hiệu:limun=- ∞ hay un → −∞ khi n → + ∞. 3.Các giới hạn đặc biệt. 1 1 =0;limnk=+ ∞ với k là số nguyên dương. a/lim =0 ;lim k n n b/limq =0 nếu q 1. n c.limc=c (clà hằng số). 4. Định lí về giới hạn hữu hạn. Định lí 1. a/nếu limun=a và limvn=b,thì: *lim(un+vn)=a+b lim(un-vn)=a-b u a lim v = b n *limunvn=ab n b/Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun=a thì a ≥ 0 và lim u n = a 5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực. Định lí 2. un a/Nếu limun=a và limvn= ± ∞ thì lim v = 0 n ∞ và limvn=a>0 thì limunvn=+ ∞ b/Nếu limun=+ u c/Nếu limun=a>0,limvn=0 và vn>0 với mọi n thì lim v = + ∞ n n 6.Cấp số nhân lùi vô hạn. *Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn q *Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho nk,trong đó klà số mũ cao nhất của n(hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổisau: +Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực. +Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểuthức chứa biến n dưới dấu căn. 3n 3 − 2n + 5 Ví dụ1.Tính lim . 1 + 2n 3 2 5 2 5 n 3 (3 − + 3) 3− 2 + 3 n =3 3n − 2n + 5 3 2 n n n Ta có:lim =lim =lim 1 1 2 1 + 2n 3 n 3 ( 3 + 2) +2 3 n n 5 n + 2.3 n Ví dụ 2.Tính lim 4n + 1 3 3 5 n (1 + 2.( ) n ) 1 + 2.( ) n 5 + 2.3 n n 5 5 =+∞ Ta có :lim n =lim =lim 4 4n 1 1 4 +1 5 n (( ) + n ) ( )n + n 5 5 5 5 3n 4n 1 4n 1 (vì lim(1+2.( ) ) = 1 >0,lim(( ) + n ) = 0 và ( ) + n > 0 ) 5 5 5 5 5 4n 2 + 1 − nVí dụ 3. Tính lim 1 + 2n 1 4 + 2 −1 1 n 4+ 2 −n 4n + 1 − n 1 2 n ...