Tài liệu tham khảo: Đại số

Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp của n phần tử của tập hợp M theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Một buổi họp gồm 12 người tham dự. Hỏi có mấy cách chọn một chủ toạ và một thư ký. 1.1.3. Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu tham khảo: Đại số 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ1.1. Đại số tổ hợp 1.1.1. Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗ i cách sắp xếp của n phần tử của tập hợp M theo mộ t thứ tự nhất đ ịnh được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Số hoán vị của tập hợp A là : Pn  n ! Ví d ụ 01 : Một bàn tròn có 12 người ngồ i. Hỏ i có mấy c ách xếp chỗ n gồi cho họ ? 1.1.2. Chỉnh hợp : Chỉnh hợp chập k của n phần tử  k  n  là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. n! Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : Ank   n  n  1 ...  n  k  1  n  k ! Ví d ụ 02 : Mộ t buổ i họp gồ m 12 người tham dự. Hỏi có mấ y cách chọn một chủ toạ và một thư ký. 1.1.3. Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm c ó thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,...,k lầ n trong nhóm. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là : Bnk  n k Ví d ụ 03 : Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn. Hỏi c ó bao nhiêu cách xếp ? 1.1.4. Tổ hợp : Tổ hợp chập k của n phần tử  k  n  là một nhóm không phân biệt th ứ tự, gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. n  n  1 ...  n  k  1 n! Số tổ hợp chập k của n phần tử là : Cnk   k ! n  k  ! k! Chú ý : i) 0 !  1 ii) Cnk  Cn  k n iii) Cnk  Cn11  Cn 1 k k Ví d ụ 04 : Một hộp có 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra : a) 3 quả cầ đỏ. b) 4 quả cầu mà có 3 xanh, 1 đỏ. 1.1.5. Nhị thức Newton n n   Cnk a n k .b k a  b k 0 5 Ví d ụ 05 : Dùng nhị thức Newton khai triển :  2 x  3 1 2. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT2.1. Các khái niệm c ơ bản 2.1.1. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố a) Khái niệm : Là sự thực hiện một số điều kiện xác đ ịnh (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử th ường được lặp lại nhiều lần. Các kết quả xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên gọi là biến cố. b) Ví dụ 1 : Tung đồng tiền lên là một phép thử ngẫu nhiên. Đồng tiền lật mặt nào đó là một biến cố. 2.1.2. Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu  . Mỗi kết quả của phép thử,  , gọi là biến cố sơ cấp. Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. 2.1.3. Biến cố ngẫu nhiên Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Phép thử mà các kết quả của nó là các biến cố ngẫu nhiên đ ược gọi là phép thử ngẫu nhiên  Các ký hiệu : -  : không gian mẫu. -  : biến cố sơ cấp - A, B, C, …: biến cố - |A|: số phần tử của biến cố A Ví d ụ 2 : Tung một đồng xu :  ={S,N};  1=“S”,  2=“N” Tung con xúc sắc  ={ 1,…,  6}  i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6 Đo chiều cao (đv: cm) 2.1.4. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo : Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, kí h iệ u A  B , nếu A xả y ra thì B xảy ra b) Quan hệ tương đươn g : Hai biến cố A, B là tương đương với nhau nếu A  B và B  A , kí hiệu: A  B c) Tổng của 2 biến cố : Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu  , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A hoặc B 2 Ví d ụ 3 : Hai người thợ săn cùng bắn vào một con thú. Nếu gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con thú và B là biến cố người thứ hai bắn trúng con thú th ì C  A  B là b iến cố con thú bị bắn trúng. d) Tích của 2 biến cố : Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu  , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A và B Ví d ụ 4 : Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trượt, B là là biến cố người thứ hai bắn trượt thì C  A.B là biến cố con thú không bị bắn trúng. e) Biến cố hiệu : Hiệu của 2 biến cố A và B, kí hiệu : A \ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không x ảy ra. f) Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. g) Biến cố đối lập : Biến cố không xảy ra biến cố A gọi là biến cố đối lập với biến cố A. Kí hiệu : A . Ta có : A  A   , A. A   Nhận xét : Ta có thể sử dụng các phép toán trên các tập hợp cho các phép toán trên các biến cố. 2.1.5. Biến cố đồng khả năng Các biến cố được gọi là đồng khả năng n ...