Tài liệu tham khảo môn Toán: Bất đẳng thức

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức. Chúc các bạn thành công
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu tham khảo môn Toán: Bất đẳng thứcBðT và c c tr thư ng gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð . Trong bàivi t này tôi xin gi i thi u v i các b n m t kĩ thu t quen thu c mà chúng ta thư ng g p trong ch ngminh BDT ñó là kĩ thu t “ðưa v m t bi n” 5 4 1Ví d 1. Cho x > 0, y > 0 và x + y = . Ch ng minh : + ≥ 5 (1) 4 x 4y 5 4 1L i gi i: Ta có x + y = ⇒ 4y = 5 − 4x ⇒ (1) ⇔ + ≥ 5. x 5 − 4x 4  5 () () () 4 1 4 4Xét f x = + , x ∈  0;  ⇒ f x = − + ,f x = 0 ⇔ x =1 x 5 − 4x ( ) x2 2  4 5 − 4x () () 4 1T b ng bi n thiên ta ñư c: min f x = f 1 = 5 , t ñó suy ra ≥ 5. + x 4y  5  0;   4 1ð ng th c x y ra khi x = 1, y = . 4Ví d 2. Cho x , y ∈  −3;2  th a x 3 + y 3 = 2 . Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c   P = x 2 + y2 .L i gi i.T gi thi t ta suy ra ñư c x = 3 2 − y 3 thay vào P ta ñư c () 2 3P = 3 (2 − y 3 )2 + y3 = 3 (2 − t )2 + t 2 = f (t ) 3Trong ñó ta ñã ñ t t = y 3 . Vì x ∈  −3;2  ⇒ x 3 ∈  −27; 8  ⇒ −27 ≤ 2 − y 3 ≤ 8 ⇔ −6 ≤ y 3 ≤ 29 ,    do y 3 ∈  −27; 8  ⇒ t ∈  −6; 8  .     2 2Xét hàm s f (t ) trên D =  −6; 8  , ta có: f (t ) = −   33 t 3.3 2 − t −6⇒ f (t ) = 0 ⇔ 3 2 − t = 3 t ⇔ t = 1 . 0 1 2 8 t − − || +0 || + fD a vào b ng bi n thiên ta có ñư cmin P = min f (t ) = f (0) = f (2) = 3 4 f D {}ð t ñư c khi x , y ∈ 0, 3 2 . { }max P = max f (t ) = f (−6) = 4 + 3 36 . ð t ñư c khi x , y ∈ − 3 3;2 . DNh n xét:* Cách gi i trên ch ñòi h i chúng ta kĩ thu t kh o sát hàm s . Cái khó c a bài toán trên là ñi u ki nh n ch c a x , y ∈  −3;2  ! N u x , y không b ràng bu c b i ñi u ki n này thì bài toán tr nên ñơn  gi n và ta có th gi i bài toán trên theo cách chuy n qua t ng và tích c a x , y . 1Nguy n T t Thu  a3 − 2 b = a 3 − 3ab = 2 a3 − 8   3að t a = x + y, b = xy ⇒  2 ⇔ ≤ 0 ⇔ 0 0 ) 3(a 2 + b2 ) + 3(a + b) 3 ab − (a 2 + b2 ) ≤Khi ñó : (1) ⇔ + (a + 1)(b + 1) a +b 2 3t 2 + 6t − 18 + 3t 3 − t 12 3 − t 2 − 2t + 6 ≤ ⇔ −t 2 + t + ≤ 4 (1.1)⇔ + 4 2 t t 12 12Xét hàm s : f (t ) = −t 2 + t + v i t ≥ 2 . Ta có : f (t ) = −2t + 1 − < 0 ∀t ≥ 2 2 t t⇒ f (t ) ≥ f (2) = 4 ∀t ≥ 2 ⇒ (1.1) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = 1 .Ví d 4. Cho các s th c x, y thay ñ i và tho mãn (x + y )2 + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c abi u th c : A = 3(x 4 + y 4 + x 2y 2 ) − 2(x 2 + y 2 ) + 1 .L i gi i.  (x + y ) + 4xy ≥ 2 3 ⇒ (x + y )3 + (x + y )2 − 2 ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 1 .Ta có:  (x + y ) − 4xy ≥ 0 2  ) (A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2(x 2 + y 2 ) + 1 = 3 (x 2 ...