Tài liệu tham khảo: Tích phân và ứng dụng

Tài liệu tham khảo các chuyên đề ôn thi môn toán : Tích phân và ứng dụng , giúp các bạn học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu tham khảo: Tích phân và ứng dụngwww.laisac.page.tl T TÍCTÍCH ÍCHP PHÂN PH H ÂNVÀ Â V ỨNG VÀ ỨDỤNG ỨN N GD DỤ ỤN NG TrầnXuânBang Trong các ñề thi tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh vào ðại học và Cao ñẳng thường có các bài toán tích phân. Bài viết này xin ñược chuyển ñến các bạn ñọc chuẩn bị thi vào các trường ðại học và Cao ñẳng một hệ thống các phương pháp tính tích phân mà tôi tích luỹ ñược và sắp xếp theo một cách riêng mình, một số bất ñẳng thức tích phân và một số áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích. 1. Tính trực tiếp nguyên hàm rồi áp dụng công thức Niutơn- Lépnit. Tính trực tiếp nguyên hàm có một thuận lợi khi ta không phải ñể ý ñến tập xác ñịnh của hàm dưới dấu tích phân. 1 dx VD1. Tính I = ∫ ,n∈N , n ≥ 2 . (ðH Thái Nguyên - A 2000) 0 (1 + x ) n n 1 + xn 1 dx Biến ñổi sau I = ∫ là không chấp nhận ñược.  1  0 n 1 x 1 + n  x n 1 + n  x  x dx Nhưng nếu ñặt I ( x) = ∫ thì các biến ñổi sau là hợp lý và cho ( ) 1 + x n n 1 + x n phép ñược: 1 −1− dx dx x − n −1  1  n I ( x) = ∫ =∫ =∫ 1 dx = ∫ 1 + n  x − n −1dx (1 + xn ) n 1 + xn x n 1 + 1n  x n 1 + 1n 1 + 1 1+ n  x   x  x  n   x  1 1 −1− − 1 1 1   1  x = − ∫ 1 + n   n n d 1 + n  = 1 + n  +C = +C . n  x   x   x  n 1 + xn 1 dx x 1 Suy ra I ( x) = ∫ = = (1 + x ) n n 1 + xn n 1 + xn 0 n 2 Nhưng do chương trình không dùng hàm số ngược, nên một số nguyên hàm không thể tính ñược. dx VD2. Tính I ( x) = ∫ (a > 0) a − x2 2 ðặt x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt a cos tdt dt costdt d (sin t ) ⇒ I ( x) = ∫ =∫ =∫ 2 =∫ 2 2 a − a sin t2 cost 1 − sin t (1 − sin t)(1+sint) Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG ...