Tích phân hàm một biến

* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thứchữu tỉ.* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thứchữu tỉ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tích phân hàm một biến Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng §4. Ứng dụng tích phân xác định §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNHI. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b).Nếu tồn tạihàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b), thìF(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu cóthêm F’( a + 0 ) = f(a), F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nóiF(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b].Ví dụ :* F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx,∀x ∈ R. Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx.2. Các định lí về nguyên hàm: Địnhlí1: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên [a, b]. Địnhlí2: * Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thìF(x) + C, với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm f(x) trên [a, b].* Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó củaf(x) trên [a, b] thì ∃ C ∈ R sao cho: G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ [a, b]. Hay nói cách khác mọi nguyên hàmcủa f(x) đềucó dạng F(x) + C với F(x) là một nguyên hàm nàođó của f(x). II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a, b)hay trên [a, b] thì biểu thức thức F(x) + C, C làhằng số tuỳ ,ýđược gọi là tích phân bất định của f(x)trong (a, b) hay trên [a, b]. Kí hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C * Dấu ∫được gọi là dấu tích phân. * f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân. * f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. * x gọi là biến số tích phân.III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH (Giáo trình)IV. BẢNG TÍCH PHÂN CÁC HS THƯỜNG GẶP: (Giáo trình)V. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phương pháp đổi biến số: a) Đổi biến dạng u = u(x):Địnhlí: Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với x ∈( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b)ta có : ∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du xdxVí dụ: Tính các tích phân sau đây: ∫ ∫ e − 1dx x , x +3 2b) Biến đổi dạng x = ϕ(t) Địnhlí: Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b]và x = ϕ(t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t trên [α, β] và lấy giá trị trên [a, Khi đó ta có : b]. ∫ f ( x)dx = ∫ f ([ϕ (t )]ϕ (t ))dtVí dụ: Tính ∫ 1 − x 2 dx π π Hướng dẫn: Đặt x = sint với − ≤t≤ 2 22. Phương pháp tích phân từng phần Định lí:Giả sử u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục đốivới x ∈(a, b). Khi đó trong (a, b) ta có: ∫ u( x).v ( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x).u ( x)dx Viết gọn: ∫ udv = uv − ∫ vdu Ví dụ: Tính các tích phân sau đây: ∫ x cos xdx Chú ý: Khi tính những tích phân dạng ∫ f ( x) g ( x)dxvới f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bảnkhôngcùng loại ta thường dùng phương pháp tích phântừng phần. ụ thể như sau: C a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàmsin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x); dv = g(x)dx. b) Nếu f(x) là hàm đa thức & g(x) là những hàmnhưhàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt u = g(x), dv = f(x)dx.VI. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP: 1.Tích phân hàm hữu tỉ:a) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản: dx 1 (i) ∫ = ln ax + b + C , a ≠ 0 ax + b a ( ii ) dx 1 1 ∫ (ax + b) k = 1 − k . a(ax + b)k −1 + C , k ≠ 0 2 Adx  b  b 2 − 4c ( iii ) ∫ 2 :Biến đổi x + bx + c =  x +  − 2 x + bx + c  2 4 Ab B− ( Ax + B )dx Ax + B A 2x + b ( iv ) ∫ 2 : ến đổi Bi = ( 2 )+ 2 2 x + bx + c x 2 + bx + c 2 x + bx + c x + bx + c Sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: du ∫u và tích phân dạng ( iii ). 2x + 1 Ví dụ : Tính ∫ x 2 + x + 1dxb) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát: Pn ( x) ∫ Qm ( x)dxi) Bậ c P n(x) * Phân tích Pn ( x) M1 Mα N = α + ... + + ... + + Qm ( x) (a1 x + b1 ) (a1 x + b1 ) a2 x + b2 E 1x + F1 Eβ x + Fβ Gx + H ...