Tích phân hàm phân thức, lượng giác và mũ-Logarit

Tham khảo tài liệu tích phân hàm phân thức, lượng giác và mũ-logarit, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tích phân hàm phân thức, lượng giác và mũ-Logarit www.MATHVN.comGiáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.comDĐ: 01694 013 498 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨCI. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức  (a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0 mCó dạng x Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1Cụ thể xét bộ ba số p; p ; n nTH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n m 1 s p  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx nTH 2: Nếu n rĐặc biệt r- Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n s r- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 sTPTP hai lần, … a  bx n m 1 s  tr  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặtTH 3: Nếu xn n rBài tập giải mẫu:TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 dxBài 1: Tính tích phân sau I     x 1 x 1Giải: 1 4 4 1   dx 1   x 1  x 2  dxTa có I     1 x 1 x   1 1Nhận xét: m  1, n  , p  1  Z  q  2 2Cách 1: x  t2Đặt x t dx  2tdt 1www.mathvn.com www.MATHVN.comGiáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.comDĐ: 01694 013 498  x  4 t  2Đổi cận   x  1 t  1 2 2 2 2 t dt 1 1 4   2  ln t  ln 1  t   2 lnKhi đó I  2 2 dt  2   2   1 t 1 t 1 t 1  t  t 1 t  1 3 1Cách 2:  x   t  1 2 Đặt 1  x  t   dx  2  t  1 dt   x  4 t  3Đổi cận   x  1 t  2  t  1 dt 3 dt 2 3 3 1 1 4   dt  2  ln t  1  ln t   2ln I  2  2  2 Khi đó 2 2 t  1 t 2 t 1 t  3 2  t  1 t 2 m 1 s p  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx nTH 2: Nếu n rĐặc biệt r  Z ta chỉ được đặt t  a  bx n- Nếu p  s ...