TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a;+∞) và f(x) khả tích trên mỗi đoạn [a;b], vớimọi b (a; +∞). Ta gọi và ký hiệu tích phân suy rộng với cận vô hạn của hàm sốf(x) trên [a;+∞) là giới hạn (hữu hạn hoặc là vô hạn) dưới đây...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TÍCH PHÂN SUY RỘNGTÍCH PHÂN SUY RỘNG 1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 ( CẬN VÔ HẠN) a. Khoảng lấy cận là [a;+∞)Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a;+∞) và f(x) khả tích trên mỗi đoạn [a;b], vớimọi b (a; +∞). Ta gọi và ký hiệu tích phân suy rộng với cận vô hạn của hàm sốf(x) trên [a;+∞) là giới hạn (hữu hạn hoặc là vô hạn) dưới đây;Nếu giới hạn trên là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng l à hộ i t ụvà giới hạn trên là giá trị của nó.Nếu giới hạn trên là không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ.Ví dụ 1.a:  Tích phân suy rộng đã cho là hội tụVí dụ 2.a:Giới hạn không tồn tại  Tích phân suy rộng đã cho là phân kỳ Khoảng lấy tích phân là (-∞; b] b.Tương tự như khoảng lấy tích phần [a;+∞), ta có:Hàm f(x) xác định trên (-∞; b] và khả tích trên mọi đoạn [c,a] với mọi c thỏa mãn: c (-∞;b).Ta gọi và ký hiệu tích phân suy rộng với cận vô hạn của hàm số f(x) trên [-∞;b)là giới hạn (hữu hạn hoặc là vô hạn) dưới đây;Tính chất giống với khoảng lấy tích phần [a;+∞).Ví dụ:Ví dụ 1.b:  Tích phân là hội tụ.Ví dụ 2.b = = = - - )=- c. Khoảng lấy tích phân là (-∞; +∞)Ta định nghĩa:Tích phân suy rộng rộng vế trái được gọi là hội tụ khi và chỉ khi hai tích phânsuy rộng ở vế phải đều hội tụ ( a là một giá trị thực cố định bất kỳ).Chỉ cần bất kỳ một tích phân suy rộng ở vế phải phân kỳ thì tích phân ở vế tráisẽ phân kỳ.Ví dụ 1.c : tính tích phân sauTa có: I=Đặt ; - Tính A.A= = = == )= =>Tích phân A là hội tụTương tự ta tính tích phân BB= = = =>Tích phân B hội tụ ( A,B cùng là hội tụ) =>Tích phân I = A + B = Tích phân I hôi tụVí dụ:Ví dụ 1: xét sự hội tụ của tích phân:+ v ới+,Nếu n > 1: Tích phân hội tụ+Nếu n 0) hội tụ nếu n > 1, phân kỳ nếu n < 1 Một số định lý so sánh a.Định lý 1:Giả sử 0 ≤ f(x) ≤ g(x), với mọi . Khi đó: • nếu hội tụ thì hội tụ • nếu phân kỳ thì phân kỳ.Ví dụ: xét tính hội tụ của tích phân: 1.Giải: ta thấy là hội tụ  tích phân đã cho hội tụ. 0< < và 2. Giải.Trên đoạn [1;+∞) thì => hội tụ và => I hôi tụ. b.Định lý 2Giả sử f(x) > 0, g(x) > 0, với mọi và . Khi đó: • nếu k < +∞ và hội tụ thì hội tụ • nếu k > 0 và phân kỳ thì phân kỳ • nếu 0< k ( để nghiên cứu tính hội tụ của ta so sánh nó với tích phân mà ta đã biết rõ tính hội tụ của nó ví dụ: , ta có hệ quả: + Nếu khi , f(x) tương đương thì (n>0) -Hội tụ khi n > 1 -Phân kỳ khi n ≤ 1Ví dụ: xét tính hội tụ của các tích phân sau: 1. 2. Giải 1.Ta có: => phân kỳ Tích phân đã cho phân kỳ  2. = => hội tụ  Tích phân đã cho hội tụ. Chú ý: đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ, các tích phân nên khi xét tính hội tụ cảu tích phân, ta có thể chọn n đủ lớn nếu cần thiết. 2.TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 ( TÍCH PHÂN SUY RỘNG CÓ ĐIỂM GIÁN ĐOẠN VÔ CỰC) a.Hàm số có điểm gián đoạn vô cực là đầu mút ( cận trên)Giả sử hầm số f(x) xác định trên [a;b) và khả tích trên đoạn [a;c] ( a ≤ c < b) và Tích phân suy rộng của hàm f(x) trên [a;b), ký hiệu được xác định:Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ. Trong trường hợp cònlại ta nói tích phân phân kỳ.Ví dụ: tính các tích phân sau rồi suy ra sự hội tụ của nó.1. 2. 1. = = Tích phân đã cho phân kỳ. 2.  hội tụ b.Hàm số có điểm gián đoạn vô cực là đầu mút ( cận dưới)Nếu f(x) xác định trên (a;b], khả tích trên đoạn [t,b] với mọi thỏa mãn: a < t Khi đó:Ví dụ: tính các tích phân sau: 1. 2. Giải: 1.Ta thấy ...