Tìm hiểu về tích phân và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville

Trong bài viết này, tác giả tìm hiểu về tích phân phân số Riemann-Liouville và đạo hàm phân số Riemann-Liouville. Việc này thực sự cần thiết cho những ai mới bắt đầu tìm hiểu về phương trình vi phân cấp phân số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tìm hiểu về tích phân và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville TÌM HIỂU VỀ TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ RIEMANN LIOUVILLE Nguyễn Thị Linh1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số công thức của tích phân và đạohàm cấp phân số Riemann-Liouville . Kèm theo đó là một số ví dụ minh hoạ. Từ khoá : Fractional derivatives; Fractional integral; Riemann-Liouville.1. ĐẶT VẤN ĐỀ Mối quan tâm đối với phương trình vi phân cấp phân số và những ứng dụng của nó tăng lênmạnh mẽ trong nhiều năm gần đây. Chúng tôi quay về lịch sử tìm hiểu về nguồn gốc của khái niệmnày. Theo nhiều nguồn tài liệu thì thế kỷ XVII là thời điểm mà Newton và Leibniz phát triển nền tảngcủa phép tính vi phân và tích phân. Vào năm 1695, trong lá thư Leibniz gửi LHospital, Leibniz đãgiới thiệu biểu tượng ?? ?(?) ?? ? ??để chỉ đạo hàm bậc ? của hàm ? với ? là một số tự nhiên. LHospital đã trả lời: “ ?? ? ?(?) có nghĩa làgì nếu ? = 1/2?”. Từ phân số 1/2 mà LHospital đề cập trong thư đã dẫn đến tên gọi “fractionalderivatives”, “Fractional integral”. Và tên gọi này được sử dụng đến ngày nay. Mặc dù đến nayngười ta đã biết rõ rằng không có lý do gì để hạn chế ? trong tập hợp số hữu tỷ. Trên thực tế, ngay cảcác số phức cũng được chấp nhận cho khái niệm này. Khái niệm này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học lỗi lạc như Euler, Laplace, Riemann,Liouville,… nghiên cứu trong các thế kỷ tiếp theo, thế kỉ XVIII và XIX. Tích phân phân số Riemann-Liouville như là nguồn gốc cho tất cả các loại đạo hàm cấp phân số được đưa ra sau này và có nhiềuứng dụng như đạo hàm phân số Caputo, đạo hàm phân số Hilfer, đạo hàm phân số Hadamard. Trong bài báo cáo này, chúng tôi tìm hiểu về tích phân phân số Riemann-Liouville và đạo hàmphân số Riemann-Liouville. Việc này thực sự cần thiết cho những ai mới bắt đầu tìm hiểu về phươngtrình vi phân cấp phân số.2. NỘI DUNG 2.1. Hàm Gamma và hàm Beta Trong phần này ta xét ?, ? ∈ ℝ và ?, ? > 0. 2.1.1. Định nghĩa Hàm Gamma kí hiệu là Γ hàm Beta kí hiệu là Β, được định nghĩa như sau ∞ ∞ Γ(α) = ∫ ? ?−1 ? −? ??, Β(α, β) = ∫ (1 − ?) ?−1 ? ?−1 ?? . 0 0 2.1.2. Một số tính chất Γ(1) = 1; (1) 309 Γ(α + 1) = αΓ(α); (2) Γ(? + 1) = n! (3) với mọi n ∈ ℕ . Chứng minh. Từ định nghĩa hàm Gamma dễ thấy ∞ 1 Γ(1) = ∫ ? −? ?? = lim (1 − ) = 1. ?→∞ ?? 0 Như vậy (1) được chứng minh xong. Tiếp theo ta chứng minh (2). Từ định nghĩa hàm Gamma ta có ∞ ∞ ? −? ? −? ∞ Γ(α + 1) = ∫ ? ? ?? = −? ? | + ∫ ?? ?−1 ? −? ?? 0 0 0 ∞ = ? ∫ ? ?−1 ? −? ?? = αΓ(α). 0 Từ (1) và (2) ta có Γ(? + 1) = nΓ(?) = n(n − 1)Γ(? − 1) = n(n − 1)(n − 2)Γ(? − 2) = n(n − 1)(n − 2)(? − 3) … 3.2. Γ(2) = n!. Như vậy (3) được chứng minh. 2.1.3. Mối liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Beta Γ(α)Γ(β) Β(α, β) = . Γ(α + β) Chứng minh. Từ định nghĩa hàm Gamma và hàm Beta ta có ∞ ∞ ∞ ∞ Γ(α)Γ(β) = ∫ ? ?−1 ? −? ?? ∫ ? ?−1 ? −? ?? = ∫ ∫ ? −?−? ? ?−1 ? ?−1 ???? . 0 0 0 0 Đổi biến ? = ??, ? = ?(1 − ?) ta có ∞ 1 Γ(α)Γ(β) = ∫ ∫ ...