Về một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên

Trong bài viết này, tác giả đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo. Kết quả khác với những kết quả trước đó là có thể áp dụng cho lớp các phương trình vi phân cấp không nguyên với hàm nguồn có chứa điểm kỳ dị.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên VỀ MỘT TIÊU CHÍ DUY NHẤT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN Nguyễn Minh Điện1 1. Khoa Sư phạm, trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Trong báo cáo này chúng tôi đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình viphân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo. Kết quả của chúng tôi khác với những kết quả trước đólà có thể áp dụng cho lớp các phương trình vi phân cấp không nguyên với hàm nguồn có chứa điểmkỳ dị. Từ khoá: Đạo hàm Caputo, phương trình vi phân cấp không nguyên, tiêu chí duy nhất nghiệm.1. GIỚI THIỆU Nagumo (Nagumo, 1926) đã đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phâncấp 1. Tiếp nối công trình trên, có rất nhiều tiêu chí duy nhất nghiệm cho các phương trình vi phânthường được đề xuất, chẳng hạn như (Constantin, 2010; Ferreira, 2012; Gard 1978). Rất gần đâyConstantin (Constantin, 2023) đã đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm rất thú vị cho phương trình viphân cấp 1. Các tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên cũngđược quan tâm nghiên cứu khá nhiều, chẳng hạn như (Diethelm, 2012; Ferreira, 2013; Ferreira, 2024).Tuy nhiên, trong các nghiên cứu vừa đề cập, các tiêu chí duy nhất nghiệm được đưa ra không áp dụngđược cho trường hợp phương trình vi phân có hàm nguồn có điểm kỳ dị. Tiêu chí duy nhất nghiệmcho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên cũng đã được nghiên cứu nhưng khôngnhiều (Dien, 2021). Trong báo cáo này, chúng tôi giới thiệu một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình viphân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo sau: C Dt u(t ) = f (t , u(t )), (0   , t  1) (1)với điều kiện đầu u (0) = 0. Chúng tôi nhấn mạnh là tiêu chí duy nhất nghiệm được đề xuất ở đây vẫnkhả dụng khi hàm nguồn có điểm kỳ dị.2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về tích phân và đạo hàm cấp không nguyên.Chúng tôi cũng giới thiệu một số kết quả cần thiết sẽ được sử dụng cho các phần tiếp theo trong báocáo. Định nghĩa 2.1. (Podlubny, 1999). Cho n  , n − 1    n và u  C [0, T ]. Tích phân phân nsố với bậc α được định nghĩa 1 t ( ) 0 I  u(t ) = (t − s) −1 u(s)ds và đạo hàm Caputo cấp  được định nghĩa bởi 344  1 t  (n −  ) 0 (t − s ) n − −1 ( n )  u ( s )ds khi n − 1    n, C Dt u (t ) =  u ( n ) (t ) khi  = n  với Γ(.) là hàm Gamma. Tiếp tục, chúng tôi giới thiệu một sự liên hệ giữa đạo hàm và tích phân cấp không nguyên(Podlubny, 1999): Bổ đề 2.2. (Podlubny, 1999). Cho n  , n − 1    n và u  C [0, T ]. Khi đó, ta có n n −1 I  ( C Dt u (t ) ) = u (t ) −  ck t k , (ck  ). k =0 Bổ đề 2.3. Cho u  C [0,1] và thỏa mãn điều kiện u (0) = 0, khi đó tồn tại một hằng số M  0 1sao cho | u (t ) | Mt. M = sup | u (t ) | . Chứng minh. Vì u  C [0,1], ta có 1 0t 1 Do đó, ta có t tu(t ) =  u ( s)ds   u (s) ds  Mt. 0 03. TIÊU CHÍ DUY NHẤT NGHIỆM Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình (1). Cụ thểhơn, ta có định lý sau: Định lý 3.1. Giả sử tồn tại các hằng số K , N  0 và 0      1 sao cho| f (t, u) | Kt − | u |, (0  t  1)vàlim f (t , Mt ) = 0t →0đều với mọi M  0. Nếu K (1 −  )  1, khi đó, phương trình (1) có duy nhất nghiệm tầm thường 1trong C [0,1] . Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2 và điều kiện u (0) = 0, ta có thể đưa phương trình (1) về phươngtrình tích phân sau: t 1 ( )  u (t ) = (t − s ) −1 f ( s, u ( s ))ds. 0 Giả sử bài toán (1) có nghiệm không tầm thường u  C [0,1]. Bổ đề 2.3, với mọi   0 , tồn tại 1t  0 đủ nhỏ, sao cho | f (t , u(t )) |  . Khi đó, ta có  t   (t − s) ds = ( + 1) t .  −1  u (t )  ( ) 0 345 Từ bất đẳng thức vừa nhận được suy ra u(t ) lim = 0. t →0 t  − Do đó hàm số  u (t )  khi t  0, w(t ) =  t  − 0 khi t = 0  t  0 , ta đặt là hàm liên tục trên [0,1]. Với 0 M 0 = max w(t ). 0t t0 Mặt khác, với 0  t  t0 , ta lại có t KM 0  (t − s) t ds = KM 0(1 −  )t .  −1 −   − u (t )  ...