So sánh hai bất đẳng thức kiểu Lyapunov thông qua các ví dụ

Bài viết "So sánh hai bất đẳng thức kiểu Lyapunov thông qua các ví dụ" thông qua một số ví dụ cụ thể để so sánh hai bất đẳng thức kiểu Lyapunov được đưa ra bởi (Ferreira, 2014) và (Long, 2022) cho bài toán với các điều kiện biên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
So sánh hai bất đẳng thức kiểu Lyapunov thông qua các ví dụ SO SÁNH HAI BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU LYAPUNOV THÔNG QUA CÁC VÍ DỤ Lê Quang Long 1 1. Khoa Sư phạm, trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Trong bài báo cáo này, chúng tôi thông qua một số ví dụ cụ thể để so sánh hai bất đẳng thứckiểu Lyapunov được đưa ra bởi (Ferreira, 2014) và (Long, 2022) cho bài toán với các điều kiện biên: ? ? ? y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b, 1 < ? ≤ 2, ?+ { ?(?) = ?(?) = 0,trong đó ?: [?, ?] → ? là một hàm liên tục. Từ khoá: đạo hàm Caputo, phương trình vi phân phân số, bất đẳng thức kiểu Lyapunov.1. GIỚI THIỆU Xét phương trình vi phân cấp hai với điều kiện ban đầu y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b,{ (1) ?(?) = ?(?) = 0,trong đó q(t) là một hàm liên tục trên [a;b]. (Lyapunov, 1907) đã chứng minh rằng phương trình (1)nếu có nghiệm không tầm thường thì ? 4 ∫|?(?)|?? > . (2) ?− ? ? Bất đẳng thức (2) gọi là bất đẳng thức Lyapunov cho bài toán (1), và được dùng như một tiêuchuẩn để chứng tỏ bài toán (1) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường. Cụ thể, nếu ? 4 ∫|?(?)|?? ≤ ?− ? ?thì bài toán (1) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường. Từ những năm 1970 trở về sau này, cùng với sự phát triển của giải tích phân số, nhiều tác giảđã xét lại các bài toán của giải tích cổ điển và thay các đạo hàm thông thường bởi các đạo hàm phânsố như đạo hàm Caputo, đạo hàm Hilfer,…. Một trong những bài toán đó là đưa ra bất đẳng thức kiểuLyapunov cho phương trình vi phân phân số với điều kiện ban đầu: ? ? ? y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b, 1 < ? ≤ 2, ?+ { (3) ?(?) = ?(?) = 0,trong đó q: [a, b] → R là một hàm liên tục. Năm 2014, (A. M. Ferreira, 2014, Theorem 1) đã đưa ra bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bàitoán (2) như sau: ? Γ(?)? ? ∫|?(?)|?? > . (4) [(? − 1)(? − ?)] ?−1 ? 327 Sau đó, (Long, 2022, Corolarry 3,4) cũng đưa ra một kết quả khác về bất đẳng thức kiểuLyapunov cho bài toán (2): ? ∫(? − ?) ?−1 |?(?)|?? > Γ(?) (5) ? Ở bài báo cáo này, chúng tôi sẽ xét một số ví dụ cụ thể nhằm so sánh hai kết quả về bất đẳngthức kiểu Lyapunov (3) và (4) trên.2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa (I. Podlubny, 1999). Cho ? ∈ ? ? [ ?, ?], ? ∈ ? + , và α ∈ (n-1, n], đạo hàm phân sốCaputo với bậc α được định nghĩa ? ? 1 ? ? ? ?(?) = ∫(? − ?) ?−?−1 ? (?) (?)d?, ?(? − ?) ?với Γ(.) là hàm Gamma.3. CÁC VÍ DỤ VÀ NHẬN XÉT 3.1 Các ví dụ Ta sẽ xét ?(?) là các hàm cơ bản thường gặp. 3.1.1. Ví dụ 1. Xét ?(?) = ? ? ? , 0 ≤ ? ≤ 1, (0 < ?, ? ∈ ?). Khi đó, bài toán (3) trở thành ? ? ? ?(?) + ? ? ? . ?(?) = 0, (0 < ? < 1), { 0+ (6) ?(0) = ?(1) = 0. ...