Bài giảng Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai

Bài giảng "Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được, phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai Đại học Quốc gia TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 21.Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: F (x, y, y , y )  0 hay y  f ( x, y, y ) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo hàm của nó. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm y  (x, c1, c2) Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2  Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c1, c2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng.2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 y  f ( x, y, y ) thỏa mãn điều kiện đầu:  y(x0)  a  ; x0 , a , b là các số cho trước. y (x0)  b Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 23. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: F (x, y , y )  0 b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z(x)  y VD1: Giải phương trình vi phân y 1 y  x(x  1) x 1 Nhận xét: Phương trình nay không chứa y nên ta đặt z(x)  y Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2Phương trình đầu  z 1  z  x(x  1) x 1Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cầntìm là z(x) 1   1 dx  x 1dx x 1 z ( x)  e [  x( x  1).e dx  c1 ] z ( x)  ( x  1)[  x( x  1). 1 dx  c1 ] x 1 2 x z ( x)  ( x  1)(  c1 ) 2 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 3 2  y  x  x  c1 x  c1 2 2 4 3 2  y  x  x  c1 x  c1 x  c1 8 6 2 là nghiệm tổng quát của phương trình.VD2: Giải phương trình vi phân: y  2( y 1). cotg xNhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt z(x)  yPhương trình đầu  z  2( z  1).cotg x Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 dz  2.cotg xdx ( ÐK : Z  1  0) z 1  dz   2 cotg xdx z 1 ln z  1  2 ln sin x  c1 2 z  1  c1 sin x 2 y  1  c1 sin x x 1 y  x  c1 (  sin 2 x)  c2 là nghiệm 2 4 tổng quát của phương trình. Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 23.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa xa- Dạng: F ( y, y , y )  0b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z( y)  y dy  y     z  dz dz dz dx dy dx dy 2VD1: Giải phương trình vi phân: y. y y  0  y(0)  1 thoả điều kiện  y (0)  2 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên tađặt z( y)  y  y  dz  z dyTừ phương trình đầu ta có: y dz 2 zz 0 dy dy dz  ; ( ĐK : y  0, z  0) y z ln y  c1  ln z z  c1 y Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 y  c1 y dy  c1dx y ln y  c1 x  c2 c1 x y  c2e là nghiệm tổng quát của phương trình.Từ điều kiện đầu ta tính được c1  2 , c2  1Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là 2x ye Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2  y0Trường hợp:  loại vì không thoả mãn  y  0 điều kiện đầuVD2: Giải phương trình vi phân yy  y ( y 1)Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt z( y)  y  y  dz  z dyTừ phương trình đầu ta có: y  dz  z  z(z  1) dy Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 dz dy  ( ĐK : z  0, z  1  0; y  0) z 1 y ln z  1  ln y  c1 z  1  c1 y z  c1 y  1 y  c1 y  1 dy  dx c1y  1 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 1 ln c1 y  1  x  c2 c1 1 c1 x (c1 y  1)  c2elà nghiệm tổng quát của phương trình.Trường hợp: y0   y  0  y  1  ...