Tính chất ảnh của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trong không gian các hàm giảm nhanh

Biến đổi Fourier là một biến đổi quan trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian hoặc trên miền tuần hoàn. Bài viết trình bày nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine) cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và áp dụng của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính chất ảnh của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trong không gian các hàm giảm nhanh Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 TÍNH CHẤT ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER COSINE, FOURIER SINE TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM GIẢM NHANH Nguyễn Ngọc Huy Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Ký hiệu j  j  Biến đổi Fourier là một biến đổi quan D u  D1 D2 ...Dn u; D j   1 2 n  , j  1, 2,... . trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên x j j quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian Định nghĩa 1. Không gian hàm giảm nhanh hoặc trên miền tuần hoàn. Bài báo trình bày trên  n là tập hợp:  nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine)      n     C  ( n ) :    ,   cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và trong đó   , : sup x D  ( x) , đa chỉ số   x n  áp dụng của nó.   (1 ,  2 ,...,  n )   n . Cho    n  là không gian các hàm giảm   nhanh. c  f   , s  f   là ảnh Fourier Ví dụ 1. a) Trên   , với k > 0, hàm cosine và sine của hàm f     n  . e  kx 2      . Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính b) Hàm f là có giá compact nếu giá của f: chất của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier supp( f )   x   n | f ( x)  0 là một tập  sine trong không gian các hàm giảm nhanh. compact. Trên  n , tập tất cả các hàm f khả  Kết quả chính được nêu trong định lý 2. vi vô hạn có giá compact thuộc không gian 2. NỘI DUNG CHÍNH   n  .  Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi Định nghĩa 2. Cho hàm f     n  . Ảnh  nhắc lại một số khái niệm (trong tài liệu tham Fourier cosine và sine của hàm f ký hiệu là khảo [1] và [2]). c  f   , s  f   là các hàm được xác Ta ký hiệu tập các đa chỉ số: định bởi:      (1 , 2 ,..., n ) |  j    , j  1, 2,..., n n 2 c  f    cos( x ) f  x  dx,   n n  với độ dài     j . 2 s  f    sin( x ) f  x  dx   j 1 C ( )  u :  n   là tập các hàm khả n  n    trong đó: vi liên tục đến cấp vô hạn. Với mỗi hàm: x   x1 , x2 ,..., xn    n ,   1 , ...