Tính chất của vectơ

Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính chất của vectơ§Òc¬ngS¸ngkiÕnkinhnghiÖmLªThÞThanhHoa……………………………………………………………………………………………………...... A. PHẦN MỞ ĐẦU. I. Lý do thực hiện đề tài. 1. Cơ sở lý luận. Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toánphổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượnggiác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽtừ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức làchuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức khônghề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phảibiết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năngbiến đổi, suy luận, dự đoán,… 2. Cơ sở thực tiễn. Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, chorằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là họcsinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toánđơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em. Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bấtđẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứuđề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”. II. Phương pháp nghiên cứu. 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận. 2. Phương pháp điều tra thực tiễn . 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 4. Phương pháp thống kê. III. Đối tượng nghiên cứu. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất củavectơ. IV. Tài liệu tham khảo. 1. Sách giáo khoa toán THPT. 2. Sách bài tập toán THPT. 3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải. 4. Báo toán học và tuổi trẻ. V. Ứng dụng. 2§Òc¬ngS¸ngkiÕnkinhnghiÖmLªThÞThanhHoa……………………………………………………………………………………………………...... Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và họcvề bất đẳng thức. B. PHẦN NỘI DUNG. I. Nhắc lại các tính chất của vectơ. 2 1. Tính chất 1: (a) 2 = a ≥ 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0 2. Tính chất 2: a + b ≥ a+b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều. 3. Tính chất 3: a.b ≤ a . b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương. II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức. 1. Sử dụng tính chất 1. Ví dụ 1. 3 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C ≥ − . 2 Giải: Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: 2 2 2 (OA + OB + OC ) 2 = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) ≥ 0 ⇔ 3R 2 + 2 R 2 (cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) ≥ 0 Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1). Giải: Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì khiđó vế trái âm, còn vế phải dương. 3§Òc¬ngS¸ngkiÕnkinhnghiÖmLªThÞThanhHoa……………………………………………………………………………………………………...... Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt cácvectơ OM , ON , OP sao cho:  OM = cos A  (OM , ON ) = π − Cˆ     ON = cos B và ˆ (ON , OP) = π − A   ˆ  OP = cos C (OP, OM ) = π − B   Áp dụng tính chất (1), ta có: (OM + ON + OP) 2 ≥ 0 2 2 2 ⇔ OM + ON + OP + 2O M .ON + 2O N .OP + 2OP.O M ≥ 0 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C − 2(cos A. cos B. cos C + cos A. cos B. cos C + cos A. cos B. cos C ) ≥ 0 ⇔ Điều phải chứng minh. 2. Sử dụng tính chất 2. Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bấtđẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc haicó thể đưa về tổng của các bình phương. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 (1) với mọi a thuộc R. 1 3 1 3 Giải: (1) ⇔ (a + ) 2 + ( ) 2 + ( − a) 2 + ( ) 2 ≥ 2 2 2 2 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:  1 3  1 3 u = (a + ; ) ; v = ( − a; ) 2 2 2 ...