Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức

Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thứctrình bày phương pháp giải các dạng bài tập trong chuyên đề và các ví dụ minh họa mẫu nhằm giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải bài tập, học tốt môn Toán 9. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giáo viên dạy Toán lớp 9.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thứcCHUYÊNĐỀCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCChuyênđề4: C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc A. KiÕn thøc c¬ b¶n. * Mét sè bÊt ®¼ng thøc cÇn nhí: a 0 a a a1. a2 0; ;- a b a b,dÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0 2. BÊt ®¼ng thøc C« - si : a, b 0 a b ab , 2dÊu = x¶y ra vµ chØ khi a = b a b3. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki: c d (a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi B. C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A B A - B 0Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc:* a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0;* a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 0 Bµi 1.1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: y2 a. x2 xy; 4 b. x2 + y2 + 1 xy + x + y; c. x4 + y4 xy3 +x3y Gi¶i: y2 4x 2 4 xy y2 1 a. XÐt hiÖu:x 2 xy (2 x y) 2 0 4 4 4 1 1 (b a )( ca ab ab c 2 abcCHUYÊNĐỀCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨC 2 y2 x xy. VËy: 4 DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi 2x = y. 1 b. x2 + y2 + 1 - (xy + x + y) = (2 x 2 2 y 2 2 2 xy 2 x 2 y ) 2 1 (x y) 2 ( y 1) 2 x 1) 2 ( 0 2 VËy: x2 + y2 + 1 xy + x + y. c. x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2) 2( x y 2 3y2 = (x - y) ) 0 2 4 VËy: x4 + y4 xy3 + x3y Bµi 1.2: Cho 0 < a b c. Chøng minh r»ng: a. a b c b c a b c a a b c c b b a b. a c a b Gi¶i: a b c b c a 1 a. ( a 2 c b 2 a c 2 b b 2 c c 2 a a 2 b) b c a a b c abc 1 = ( a 2 c b 2 c) (b 2 a a 2 b) (c 2 b c 2 a ) abc 1 = c(a 2 b 2 ) ab(b a ) c 2 (b a ) abc 1 = (b a )( ca cb ab c 2 ) abc 1 = (b a )(c b)(c a ) 0 ( v× o < a b abc a b c b c)c a b c a a b c VËy: c b b a 1 2 (c b b 2 a b 2 c a 2 c ) a c a b abc b. 1 (c 2 b b 2 a b 2 c abc) abc 2 1 1 ...