Toàn cảnh toán bất đẳng thức, cực trị vào 10 chuyên môn Toán giai đoạn 2009-2019

Tài liệu "Toàn cảnh toán bất đẳng thức, cực trị vào 10 chuyên môn Toán giai đoạn 2009-2019" cung cấp với mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán về tập hợp cho các em học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 9. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung các bài tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toàn cảnh toán bất đẳng thức, cực trị vào 10 chuyên môn Toán giai đoạn 2009-20191 TOÀN C NH TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VÀO 10 CHUYÊN MÔN TOÁN GIAI ĐOẠN 2009-2019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] 4x2  4y2  17xy  5x  5y  1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  17x  17y  16xy 2 2 Lời giải Ta có: 4x2  4y2  17xy  5x  5y  1  4  x  y   9xy  5  x  y   1 2 Đặt t  x  y, t  0 , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: x  y 2 t2 9 2 2 2 2 2 2 xy   . Do đó: 4t 2  t 2  5t  1  t  hay x  y  . 4 4 4 5 5 P  17x2  17y 2  16xy  17  x  y   18xy 2 Ta có:  x  y 2 2 25  2 2  2   17  x  y   x  y   2 25 2  18   6  4 2 4 4 4  5  2 1 Dấu “=” xảy ra khi x  y  5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6  4 2 Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  xy  x  2  y  6   13x2  4y2  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy  x  2  y  6   13x 2  4y 2  26x  24y  46      x 2  2x y 2  6y  13 x 2  2x  4 y 2  6y  46      x  1  1  y  3   9   13  x  1  1  4  y  3   9   46 2 2 2 2        Đặt a  x  1, b  y  3 , khi đó:     P  a 2  1 b2  9  13 a 2  1  4 b2  9  46     a b  9a  b  9  13a  13  4b  36  46 2 2 2 2 2 2LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH2  4a 2  3b2  a 2 b2  6 6 a  0 x 1  0 Dấu “=” xảy ra khi    x  1, y  3  b  0  y  3  0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6. Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  4 1 1 1 1) Chứng minh rằng:   1 a2 b2 c2 1 1 1 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P    . 2 a 2  b2  4   2 b2  c 2  4  2 c2  a2  4    Lời giải 1) Ta có: 1 1 1   1 a2 b2 c2   b  2  c  2    a  2  c  2    b  2  a  2    a  2  b  2  c  2   ab  bc  ca  4  a  b  c   12  abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   8  4  ab  bc  ca. Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tương đương, do đó đẳng thức đã cho được chứng minh. 2) Với x, y dư ...