Toán cao cấp C1 - Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến

Tham khảo sách 'giáo trình toán cao cấp c1 - chương 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cao cấp C1 - Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N §1. GI I H N – LIÊN T C I. Dãy s - Gi i h n dãy s . 1. Dãy s 1.1 nh nghĩa nh: { x1 , x2, x3 ,..., xn ,...} . Dãy s là m t t p h p các s ư c vi t theo m t th t xác ∞ ch dãy s ó, ngư i ta thư ng dùng kí hi u { xn }n =1 hay g n hơn { xn } . Trong chương này, ta ch xét các dãy s th c. Dãy s th c là m t ánh x : f :» → » f ( n ) = xn n Kí hi u { xn }n∈» hay { xn } . Lúc ó: • n ư c g i là ch s . • xn ư c g i là s h ng t ng quát c a dãy. x1 = 1, x2 = 2   nh b i công th c t ng quát  Chú ý: Dãy s còn có th xác   xn = 2 xn−1 + xn−2 , ∀n ≥ 3   Ghi chú: Ta thư ng xét dãy s th c là ánh x t »* vào » . Ví d 1. ∞ 1  11 1 a )   = 1, , ,..., ,... ;  n n =1  2 3 n { } = {−1,1, −1,1,..., ( −1) ,...} ; n n b) ( −1) c) {n 2 } = {1, 4,9,..., n 2 ,...} ;  n  1 2 3 n  ,... . d)   =  , , ,...,  n + 1  2 3 4 n +1  Dãy s { xn } g i là tăng n u xn < xn +1, ∀n ∈ »* , g i là gi m n u xn > xn +1 , ∀n ∈ »* . Trong ví d 1, dãy a) là dãy s gi m, dãy c) là dãy s tăng. Dãy s tăng và dãy s gi m ư c g i là dãy s ơn i u. Dãy s { xn } g i là b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho xn ≤ M , ∀n ∈ »* ; g i là b ch n dư i n u t n t i m t s m sao cho xn ≥ m, ∀n ∈ »* ; g i là b ch n n u nó v a b ch n trên v a b ch n dư i. Ví d 2. Trong ví d 1 Dãy a) là dãy s gi m, nó b ch n dư i b i 0 và b ch n trên b i 1; Dãy b) không ph i là dãy s ơn i u, nó b ch n dư i b i -1 và b ch n trên b i 1; 1 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM Dãy c) là dãy tăng, nó b ch n dư i b i 1 nhưng không b ch n trên, do ó nó không b c h n; Dãy d) là dãy s tăng, nó b ch n dư i b i 0 và b ch n trên b i 1. 2. Các dãy s c bi t 2.1 Dãy s c ng 2.1.1 nh nghĩa Là m t dãy s tho mãn i u ki n: hai ph n t liên ti p nhau sai khác nhau m t h ng s . Ch ng h n, dãy s 3, 5, 7, 9, 11, ... là m t c p s c ng v i các phân t liên ti p sai khác nhau h ng s 2. H ng s sai khác chung ư c g i là công sai c a c p s c ng. Các ph n t c a nó cũng ư c g i là các s h ng. 2.1.2 S h ng t ng quát N u c p s c ng kh i u là ph n t u1 và công sai là d, thì s h ng th n c a c p s c ng ư c tính theo công th c: u n = u1 + (n −1)d 2.1.3 T ng T ng c a n s h ng u c a c p s c ng ư c g i là t ng riêng th n. Ta có: n(a1 + a n ) n [ 2a1 + (n −1)d ] Sn = a1 + a 2 + ... + a n = = 2 2 2.2 Dãy s nhân 2.2.1 nh nghĩa Là m t dãy s tho mãn i u ki n t s c a hai ph n t liên ti p là h ng s . T s này ư c g i là công b i c a c p s nhân. Các ph n t c a c p s nhân còn ư c g i là các s h ng.Như v y, m t c p s nhân có d ng a,ar,ar 2 ,ar 3 ,... Trong ó r ≠ 0 là công b i và a là s h ng u tiên 2.2.2 S h ng t ng quát S h ng th n c a c p s nhân ư c tính b ng công th c a n = ar n-1 trong ó n là s nguyên th a mãn n>1 Công b i khi ó là 1  a n−1 a r =  n  , r = n−1 n trong ó n là s nguyên th a mãn n ≥ 1   a  a 2.2.3 T ng T ng các ph n t c a c p s nhân : 2 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM n Sn = ∑ ar k = ar 0 + ar1 + ar 2 + ... + ar n k =0 a(1− r n+1 ) Hay Sn = 1− r 2.3 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci là dãy vô h n các s t nhiên b t u b ng hai ph n t 0 và 1, các ph n t sau ó ư c thi t l p theo quy t c m i ph n t luôn b ng t ng hai ph n t trư c nó. Công th c truy h i c a dãy Fibo ...