Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ về kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt HùngKhóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung9501. PHƯƠNG PHÁP QUY N P TOÁN H CL I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN[Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – ChuyênI. CƠ S C A PHƯƠNG PHÁPDãy s , c p s ]1. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ∈ N* thì ta th c hi n theo các bư c sau ây: Ki m tra m nh úng v i n = 1. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. 2. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ≥ p; (p là s m t s t nhiên) thì ta th c hi n như sau: Ki m tra m nh úng v i n = p. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. II. M T S VÍ D MINH H AVí d 1 [ VH]: Ch ng minh các bi u th c sau úng v i m i s t nhiên n dương: n(n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = . 2 n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = . 6 L i gi i: n( n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = , (1) 2 1.2 +) V i n = 1 thì ta có 1 = ⇒ (1) úng. 2 k (k + 1) +) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1 + 2 + 3 + ... + k = 2 (k + 1)(k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 2 k ( k + 1) k (k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) Th t v y, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1) = + k +1 = = 2 2 2 V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = , ( 2) 6 1.2.3 +) V i n = 1 thì ta có 12 = ⇒ ( 2 ) úng. 6 k ( k + 1)(2k + 1) +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 12 + 22 + 32 + ... + k 2 = 6 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) +) Ta s ch ng minh (2) úng v i n = k + 1, t c là 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = 6 k (k + 1)(2k + 1) Th t v y, 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = (12 + 22 + 32 + ... + k 2 ) + (k + 1) 2 = + (k + 1) 2 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) 2 (k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ] (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = = = 6 6 6 6 V y bi u th c (2) úng. Ví d 2 [ VH]: Ch ng minh r ng: a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n − 1) = n 2 (n + 1) v i m i n dương. b) 3n > n 2 + 4n + 5 v i m i s t nhiên n ≥ 3. a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n − 1) = n (n + 1),2(1)L i gi i:Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VNcó s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y +) V i n = 1 thì ta có 1.2 = 12 (1 + 1) ⇒ (1) úng.NG VI T HÙNGFacebook: LyHung95+) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k .(3k − 1) = k 2 (k + 1) Th t v y, 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k.(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = [1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k.(3k − 1)] + (k + 1)(3k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k .(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1) 2 (k + 2)= k 2 (k + 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1)(k 2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k + 1) 2 (k + 2) V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. b) 3n > n 2 + 4n + 5, ( 2) +) V i n = 3 thì ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 ⇒ ( 2 ) úng. +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 3k > k 2 + 4k + 5 +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 Th t v y, 3k +1 = 3k .3 > 3(k 2 + 4k + 5) = 3k 2 + 12k + 15 = (k 2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 = (k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 > ( k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5 do 2k + 6k + 5 > 0 ∀k . Do ó ta ư c 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5. V y (2) úng.BÀI T P LUY N T PBài 1: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: a) 2 n > 2n + 1; ( n ≥ 3) . b) 2n+ 2 > 2n + 5. Bài 2: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: 1 1 1 1 3 2n − 1 1 a) 1 + 2 + ... + 2 < 2 − ; ( n ≥ 2 ) . b) . ... < . n 2 4 2n 2 n 2n + 1 Bài 3: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: 1 1 1 1 1 13 a) 1 + + ... + < 2 n. b) + + ... + > ; ( n > 1) . n +1 n + 2 2n 24 2 n Bài 4: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n 2 (n + 1) 2 a) 13 + 23 + ... + n3 = . b) 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1) 2 . 4 Bài 5: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n( n + 1)( n + 2) 1 1 1 n a) 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) = . b) + + ... + = . 3 1.2 2.3 n( n + 1) n + 1 Bài 6: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n(4n 2 − 1) n(3n − 1) a) 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1) 2 = . b) 1 + 4 + 7 + + (3n − 2) = . 3 2 Bài 7: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: a) n3 + 11n chia h t cho 6. b) n3 + 3n 2 + 5 chia h t cho 3. c) n3 + 2n chia h t cho 3. d) 7.22 n −2 + 32 n −1 chia h t cho 5. 1 1 1 1 Bài 8: [ VH]. Cho t ng S n = + + + ... + . 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4. b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh d oán ó b ng quy n p. n /s: S n = . 2n + 1 1 1 1 1 + + + ... + . Bài 9: [ VH]. Cho t ng S n = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4. b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ...