Toán - Tích phân hàm một biến

* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thứchữu tỉ.* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thứchữu tỉ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán - Tích phân hàm một biến NỘI DUNG 6.1. Tích phân bất định 6.2. Tích phân xác định6.3. Một số ứng dụng hình học của tích phân xác định 6.4. Tích phân suy rộng 6.1. Tích phân bất định 6.1.1. Khái niệm 6.1.2. Các phương pháp tính 6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ6.1.4. Tích phân của một hs lượng giác và vô tỉ 6.1.1. Khái niệm.1. Định nghĩa tích phân bất định2. Bảng các tích phân cơ bản3. Các tính chất của tích phân bất định 6.1.2. Các phương pháp tính TPBĐ1. Phương pháp đổi biến số.2. Phương pháp tích phân từng phần 1. Phương pháp đổi biến số.a. Ph¬ng ph¸p ®Æt x = ϕ (t): ϕ(t) là hàm liên tục, có đạo hàm liên tục, Ví dụ: Tính: có hàm số ngược. Đặt x = ∫ 1 − x 2 dx sint Đặt x = asint ∫ a − x dx 2 2 dx ∫x 2 1+ x 2 Đặt x = tgtb. Phương pháp đặt u = u(x): u(x) là hàm liên tục, có đạo hàm liên tục. Ví dụ: Tính: dx Đặt u = 3 x + 1 ∫ 1 + 3 x +1 x e dx Đặt u = 2+ ex ∫ 2 + ex dx ∫ x ln x Đặt u = lnx 2. Phương pháp tích phân từng phầnGiả sử u(x), v(x) là hai hàm số khả vi, có các đạo hàmu’(x), v’(x) liên tục thì: ∫ udv = uv − ∫ vdu * Các dạng tích phân từng phần thường gặp  e  ax   Đặt u = Pn(x) ∫• Dạng: Pn ( x)  sin ax dx cos ax   Ví dụ: Tính: Đặt u = 2x +3 dv = e2xdx ∫ (2 x + 3)e 2x dx Đặt u = x2 ∫ 2 x cos xdx dv = cosx dx  ln x   arcsin x   ln x     arcsin x  ∫ n arccos xdx Đặt u = • Dạng: P ( x )        arctgx  arccos x     arctgx    Ví dụ: Tính: ∫ x 2 ln xdx ∫ x arcsin xdx x.arctg xdx Đặt u = lnx Đặt u = arcsinx Đặt u = arctgx dv = x2dx dv = xdx dv = xdx sin bx  Đặt u = eax ∫ cos bxdx• Dạng: e ax Ví dụ: Tính: Đặt u = ex ∫ x dv = cosxdx e cos xdx 6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ. 1. Các định nghĩa. (Xem giáo trình)2. Phân tích 1 phân thức hữu tỉ thực sự thành những phânthức đơn giản. (Xem giáo trình) 3. Tích phân các phân thức hữu tỉ.* Tích phân các phân thức đơn giản: dx 1 = ln ax + b + C , a 0. ax + b a dx 1 1 = + C , k 1 , a 0. ( ax + b ) 1 − k a(ax + b) k k −1 ( Ax + B ) dx (∆ = b − 4ac < 0) 2 x + bx + c 2 Đặt t = x +b/2 Ax + B ∫ ( x 2 + bx + c)k (k ≥ 2, ∆ = b − 4ac < 0) 2 Đặt t = x + b/2* Để tính tích phân các hàm hữu tỉ thực sự, ta phân tích nóthành tổng của các phân thức đơn giản, rồi tính tích phân. 6.1.4. Tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ * Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ.1. Tích phân hàm lượng giác ∫a. Dạng R (sin x, cos x) dx (với R(sinx,cosx) là biểu thức hữu tỉ của sinx và cosx) Đặt t = tg(x/2) Ví dụ: Tính: dx ∫ 4 − 3 cos 2 x + 5 sin 2 xĐặt biệt: Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = cosx Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = sinx Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), Đặt t = tgx hoặc t =cotgx Ví dụ: Tính: dx dx ∫ sin x cos 2x ∫ sin 2 x cos 3 xdx ∫ sin 4 x cos 2 xĐặt t = cosx Đặt t = sinx Đặt t = tgx ∫ sin (n, m ∈ Z ) n m b. Dạng x cos dx Áp dụng trường hợp đặc biệt trên:- Nếu n hoặc m là số lẻ thì đổi biến t = cosx hoặc t = sinx- Nếu n và m là hai số chẵn và dương thì dùng CT hạ bậc.- Nếu n và m là hai số chẵn và có 1 số âm thì đổi biến t = tgx hoặc t = cotgx Ví dụ ...