Tóm tắt luận án Tiến sĩ Hóa học: Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân

Mục tiêu chính của luận án "Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân" là phát triển phương pháp luận của Mickens để xây dựng LĐSPKT giải một số lớp PTVPĐHT quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận án Tiến sĩ Hóa học: Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phânBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Hoàng Mạnh Tuấn PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2021Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ ViệtNam.Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Đặng Quang ÁNgười hướng dẫn khoa học 2: PGS. TSKH. Vũ Hoàng LinhPhản biện 1: ................................................Phản biện 2: ................................................Phản biện 3: ................................................Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi ..... giờ ....’, ngày ..... tháng .... năm 2021.Có thể tìm hiểu luận án tại:- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ- Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU1. Tổng quan tình hình nghiên cứu Nhiều quá trình và hiện tượng quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ được môhình toán học bởi các phương trình vi phân (PTVP) có dạng dy(t) y(t0 ) = y0 ∈ Rn , = f y(t) , (0.0.1) dt Ttrong đó y(t) = y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) là một hàm véc-tơ, và f là một hàm thỏa mãn các điều kiện cần thiếtsao cho nghiệm của bài toán (0.0.1) là tồn tại và duy nhất. Bài toán (0.0.1) còn được gọi là bài toán giá trị banđầu hoặc bài toán Cauchy. Bài toán (0.0.1) có một vai trò đặc biệt quan trọng trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Về mặt lý thuyết,không khó để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, sự phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu của bàitoán nhờ các kết quả của giải tích toán học. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm chính xác của bài toán là vô cùng khókhăn và phức tạp, thậm chí là không thể. Nói chung, người ta chỉ có thể tìm được nghiệm chính xác trong một sốrất ít những trường hợp riêng và đặc biệt. Trong ứng dụng, việc tìm các nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.0.1) hầunhư là không thể tránh khỏi. Vì vậy, việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng PTVP đóng một vai tròquan trọng và nổi bật trong toán học nói chung và toán học tính toán và ứng dụng nói riêng. Do nhu cầu củathực tiễn cùng sự phát triển của lý thuyết toán học, nhiều phương pháp số, điển hình là các phương pháp saiphân đã được xây dựng và phát triển (xem, chẳng hạn, Ascher & Petzold 1998; Burden & Faires 2011; Hairer,Nørsset & Wanner 1993, Hairer & Wanner 1996, Stuart & Humphries 1998). Có thể nói rằng lý thuyết chung vềlược đồ sai phân giải bài toán (0.0.1) đã được xây dựng hoàn chỉnh trong nhiều rất cuốn sách chuyên khảo. Cáclược đồ này sẽ được gọi là các lược đồ sai phân bình thường (LĐSPBT) để phân biệt với các lược đồ sai phânkhác thường (LĐSPKT) sẽ được trình bày ở các phần tiếp theo. Ngoài các yêu cầu cơ bản như sự hội tụ và ổn định thì một yêu cầu quan trọng hàng đầu với các lược đồsai phân là phải bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng của PTVP. Nói cách khác, các mô hình liên tục phảiđược chuyển đổi thành các mô hình rời rạc bảo toàn được các tính chất của mô hình liên tục. Tuy nhiên, trongnhiều bài toán, các LĐSPBT lại bộc lộ một nhược điểm nghiêm trọng là không thể bảo toàn các tính chất củaPTVP tương ứng. Hiện tượng này được Mickens gọi là không ổn định số (numerical instabilities). Theo mô tảcủa Mickens, hiện tượng không ổn định số là một dấu hiệu cho thấy mô hình rời rạc không thể mô hình hóachính xác các tính chất của mô hình liên tục (Mickens 1994, 2000, 2005, 2012). Trong nhiều kết quả, Mickensđã chỉ ra rất nhiều ví dụ và phân tích chi tiết hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các LĐSPBT. Vì lýdo này, năm 1980, Mickens đã đề xuất khái niệm về LĐSPKT để khắc phục hiện tượng không ổn định số. Theophương pháp luận của Mickens, một lược đồ sai phân được gọi là khác thường nếu nó được xây dựng dựa trênmột bộ quy tắc xác định được đề xuất bởi Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số khi sửdụng các LĐSPBT. Trong nhiều năm qua, hướng nghiên cứu về LĐSPKT giải PTVP đã thu hút được sự quan tâm của rấtnhiều nhà khoa học ở nhiều kh ...