Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa

Mục đích của Luận án nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính và bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một số lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phần tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được, mà nó có thể là các không gian Lebesgue Lp, không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ BÙI XUÂN QUANGĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9.46.01.03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà NộiTập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy TS. Trần Thị Loan Phản biện 1: PGS.TS. Khuất Văn Ninh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS. Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội, hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài Rất nhiều các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trìnhphản ứng-khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, . . . đều có thểđược mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng với các điều kiện ban đầu và điều kiệnbiên phù hợp. Bằng cách chọn không gian hàm và toán tử tuyến tính thích hợp, các phươngtrình đạo hàm riêng đó có thể được viết lại dưới dạng một phương trình tiến hóa trong mộtkhông gian Banach. Việc xem xét các phương trình tiến hóa trong các không gian trừu tượngcho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất củanghiệm. Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều là khảo sátdáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Đây là một việc làm rất quan trọngvì nó cho phép người ta hiểu sâu sắc hơn của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian.Từ đó, chúng ta có thể đưa ra những ước lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trongtương lai. Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có một bước đột phá lớn khi Foias C., Sell G.R.& Temam R. (1985) giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính năm 1985 khi nghiên cứu phươngtrình Navier-Stokes. Về khía cạnh toán học, đa tạp quán tính là một đa tạp trơn (ít nhất làLipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, và hút tốc độ mũ tất cả các nghiệm của phươngtrình tiến hóa dưới những điều kiện đang xét. Tính chất này cho phép sử dụng nguyên lí rútgọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian vôhạn chiều bằng cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh trên không gian hữuhạn chiều. Do đó, nó là một đối tượng rất hữu ích trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cậncủa hệ động lực vô hạn chiều. Nguyen T.H. (2012) đã xây dựng một điều kiện đủ về sự tồn tại của đa tạp quán tính đốivới phương trình tiến hóa   du + Au = f (t, u), t > s, dt (1) u(s) = us . trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp trong một khônggian Hilbert tách được vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A là toán tử sinh của một nửanhóm, và f là số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz là ϕ(t) (được gọi là ϕ-Lipschitz ) với ϕthuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Những phân tích trên đây là lý do để tác giả chọn đề tài luận án là “Đa tạp quán tính đốivới một số lớp phương trình tiến hóa”. 12 Tổng quan vấn đề nghiên cứu2.1 Lịch sử nghiên cứu1 – Sự tồn tại của đa tạp quán tính. Như đã nói, khái niệm đa tạp quán tính đối với cácphương trình tiến hóa được giới thiệu lần đầu tiên năm 1985 bởi Foias C., Sell G.R. & TemamR. (1985). Kể từ đó, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa đã đượcnghiên cứu một cách hệ thống bởi nhiều tác giả. Chow S.N. & Lu K. (1988) đã xét các phươngtrình tiến hóa tổng quát trong không gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn và thuộc lớpC 1 , nhưng tính chất hút cấp mũ của đa tạp không được chứng minh là đều trên các tập conbị chặn của không gian trạng thái. Mallet-Paret J. & Sell G.R. (1988) đã giới thiệu nguyênlý trung bình không gian để chứng minh sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phươngtrình phản ứng-khuếch tán trong không gian nhiều chiều, là khi điều kiện kẽ hở phổ khôngđược thỏa mãn. Cũng vậy, Constantin P. et al. (1988, 1989) thực hiện một chứng minh hìnhhọc cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính bằng việc sử dụng k ...