Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng

Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gian liên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. Sau đây là tóm tắt luận văn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNHBÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát HÀ NỘI- 2015Mục lụcMở đầu 2Các kí hiệu dùng trong luận văn 4Lời cảm ơn 51 Cơ sở toán học 6 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định . . . . . . 10 1.3 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 15 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . 16 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến . . . . . 21Kết luận 23Tài liệu tham khảo 24 1Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiểnthường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán họcvới thời gian liên tục dạng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điềukhiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Những dữ liệu đầu vào cótác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệthống. Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hìnhtoán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra. Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống làtìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mongmuốn. Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọngcủa lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong cáclĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế... Nói một cách hình tượng,một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếucác nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệthống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Sự nghiên cứu bàitoán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán họcV. Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trìnhvi phân và ứng dụng. Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổnđịnh, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định củacác hệ phương trình vi phân thường. Đó là phương pháp số mũ Lyapunovvà phương pháp hàm Lyapunov. Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụngphương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động 2lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứngdụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ màkhông thể giải quyết được bằng các phương pháp khác. Từ đó đến nay lýthuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi độngcủa Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu tronglý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùngvới sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiêncứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóacác hệ điều khiển. Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn địnhhóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phươngpháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã vàđang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm củanhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế. Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày mộtsố kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gianliên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứngdụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở toán học Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyến bằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa. Chương 2: Ổn định ...