Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

Mục tiêu của luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giá trị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 - Tính chất của toán tử khả nghịch phải, Chương 2 - Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANHPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANHPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015Mục lụcMở đầu 11 Tính chất của toán tử khả nghịch phải 2 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Toán tử đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Toán tử Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Toán tử ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra . . . . . 9 1.4 Đặc trưng của đa thức của toán tử khả nghịch phải . . . . . . 102 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng 12 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . 12 2.2 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Kết luận 23Tài liệu tham khảo 24 iMở đầu Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vậtlý, kinh tế và một số ngành khác. Có nhiều phương pháp để giải một phươngtrình vi phân với các điều kiện ban đầu và một trong số các phương pháp đólà sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải. Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giátrị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor-Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Dưới sự hướngdẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn vớiđề tàiPhương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Tính chất của toán tử khả nghịch phải. • Chương 2: Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các lớp toán tử tuyến tínhvà tính chất của toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor. Chương 2 nộidung chính của Luận văn, trình bày về phương trình với toán tử khả nghịchphải và áp dụng công thức Taylor vào việc giải các bài toán cụ thể. 1Chương 1Tính chất của toán tử khả nghịchphải1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính1.1.1 Toán tử tuyến tínhĐịnh nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trêncùng một trường vô hướng F . Một ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A củaX vào Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ dom A, A(tx) = tAx với mọi x ∈ dom A, t ∈ F.Tập dom A được gọi là miền xác định của toán tử A. Giả sử G ∈ dom A. Đặt AG = {Ax : x ∈ G}. Theo định nghĩa,AG ⊂ Y . Tập AG được gọi là ảnh của tập G. Tập Adom A được gọi là miềngiá trị của toán tử A (tập giá trị của A) và là không gian con của Y . Tập tất cả các toán tử tuyến tính với miền xác định chứa trong khônggian X và miền giá trị chứa trong không gian Y ký hiệu bởi L(X → Y ).Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) là tương ứng 1-1 thìtoán tử nghịch đảo A−1 được định nghĩa theo cách: Với mỗi y ∈ Adom A A−1 y = x, trong đó x ∈ dom A và y = Ax. Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) có toán tử nghịch đảo thì ta nói A khảnghịch. 21.1.2 Toán tử đại số Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường đóng đại số F và A ∈L0 (X). Vô hướng λ ∈ F được gọi là giá trị chính quy của A nếu toán tửA − λI khả nghịch.Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Giả sử F = C. Ta nói toán tử A ∈ L0 (X) là toántử đại số nếu tồn tại đa thức P (t) = p0 + p1 t + · · · + pN tN ∈ C sao choP (A) = 0 trên X .1.1.3 Toán tử VolterraĐịnh nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X) được gọi là toán tử Volterranếu toán tử I − λA khả nghịch với mọi vô hướng λ. Tập hợp các toán tửVolterra thuộc L0 (X) ký hiệu là V (X).1.2 Toán tử khả nghịch phải1.2.1 Toán tử khả nghịch phải Cho X là một không gian tuyến tính trên trường vô hướng F .Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Toán tử D ∈ L(X) được gọi là khả nghịch phảinếu tồn tại một toán tử R ∈ L0 (X) sao cho RX ⊂ dom D và DR = I . Toántử R được gọi là nghịch đảo phải của D. Tập hợp tất cả các toán tử khả nghịch phải được kí hiệu là R(X), còntập hợp tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D ∈ R(X) là RD . Ta cũngviết RD = {Rγ }γ∈ΓĐịnh nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Giả sử x là một phần tử tùy ý cho trước của khônggian X . Cho D ∈ R(X), tập hợp RD x = Rγ xγ ∈ Γ được gọi là tích phân bấtđịnh của x. Mỗi phần tử Rγ với γ ∈ Γ được gọi là một nguyên hàm của x. Theo định nghĩa, nếu y là một nguyên hàm của x thì Dy = x. Thậtvậy, nếu y là một nguyên hàm của x thì tồn tại một chỉ số γ ∈ Γ sao choy = Rγ x. Từ đó ...