Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Thuật toán mô phỏng MCMC thích nghi và ứng dụng

Mục đích chính của luận văn này là trình bày các phương pháp MCMC cơ bản và hai thuật toán MCMC thích nghi từ bài báo. Đồng thời đưa ra các so sánh giữa các thuật toán MCMC và chứng minh chi tiết các định lý trong bài báo cũng như đưa ra một số ứng dụng của thuật toán. Sau đây là bản tóm tắt của luận văn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Thuật toán mô phỏng MCMC thích nghi và ứng dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN VĂN TÂNTHUẬT TOÁN MÔ PHỎNG MCMC THÍCH NGHI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60460106 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN MẠNH CƯỜNG Hà Nội - 2015Mục lụcLời nói đầu 31 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Sự hội tụ của dãy đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dãy mixingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Các thuật toán mô phỏng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Phương pháp biến đổi nghịch đảo . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Phương pháp loại bỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Phương pháp lấy mẫu quan trọng . . . . . . . . . . 7 1.4 Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Phương pháp MCMC 11 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Mẫu Metropolis - Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Một số thuật toán MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Mẫu Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Mẫu độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.3 Mẫu Metropolis - Hastings du động ngẫu nhiên . . 13 2.3.4 Mẫu Metropolis (thành phần đơn) . . . . . . . . . . 133 MCMC thích nghi 14 3.1 Thuật toán Metropolis du động ngẫu nhiên thích nghi . . . 14 3.1.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2 Tính chất ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.3 So sánh các thuật toán Metropolis với thuật toán AP 15 1 3.2 Thuật toán Metropolis thích nghi . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.2 Tính Ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.3 So sánh các thuật toán Metropolis với thuật toán AM 17 3.3 Một số ứng dụng của MCMC thích nghi . . . . . . . . . . . 18 3.3.1 Mô hình mô phỏng GOMOS . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.2 Mô hình suy giảm oxy . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Kết quả chính 20Tài liệu tham khảo 21 2Lời nói đầu Để tìm hiểu về MC, ta xét bài toán sau: Giả sử ta cần tính tích phânR1 0 h(x)dx. Theo định lý Newton - Leibnitz, nếu F (x) là một nguyên hàmcủa h(x) thì 1 I = F (x) = F (1) − F (0). 0Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ta không thể tìm được F(x). Giả sửf (x) là hàm mật độ trên [0, 1] sao cho nếu h(x) 6= 0 thì f (x) > 0. Ta viết R1lại I = 0 fh(x) (x) f (x)dx. Khi đó, chúng ta lấy mẫu độc lập cùng phân phối (1) (n)(x , ..., x ) từ phân phối xác định bởi mật độ f và xét: n ˆ 1X In = h(x(i) )/f (x(i) ). n i=1Luật số lớn cho ta thấy rằng Iˆn hội tụ với xác suất 1 tới tích phân I khi ntiến tới ∞ nghĩa là Iˆn → I(h.c.c). Như vậy để tính xấp xỉ I, ta phải thựchiện n mô phỏng cho biến ngẫu nhiên X. Các mô phỏng MC cơ bản này có ưu điểm là dễ thực hiện. Tuy nhiên,nó chỉ mô phỏng được đối với các trường hợp đơn giản. Trong nhiều trường hợp phức tạp như số chiều tăng lên (phân phốinhiều chiều) ... thì các MC cơ bản không thể thực hiện được. Đề giải quyếtvấn đề này, chúng ta đưa ra một phương pháp gọi là phương pháp MCMC.Ý tưởng chính của phương pháp MCMC là đi xây dựng một xích Markovcó tính ergodic mà phân phối dừng là π . Khi đó, chúng ta chạy X lên đếnthời gian dài N và ước lượng E(h(Y )) bởi N1 N ...